Sean \(p_{0}=1, p_{1}=x, p_{2}=x^{2}-\dfrac{21}{65}\) los tres polinomios ortogonales y mónicos del producto escalar \(\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1}f(x)g(x)(9-x^{2})dx\)
a) Hallar una cuadratura de la forma:
\(\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1}f(x)(9-x^{2})dx\thicksim A_{0}f(x_{0})+A_{1}f(x_{1})\) que tiene grado de exactitud máxima.
b) blabla
El tema es con a...
Ocurre que si usamos la cuadratura gaussiana tenemos máximo grado de precisión...
1ra duda... El grado de precisión de gauss es 2n+1 pero n ¿què es? ¿Es la cantidad ed nodos que se usan? o sea en este caso sería n=2 y precisión 5? o es uno menos que esa cantidad? O sea n= 1 y precision 3?
Ignorando esto por un momento, digo que según Gauss el mayor grado de precisión se logra eligiendo los nodos como las raíces del polinomio ortogonal, que me lo dan en la consigna. Luego \(x_{0}=-\sqrt{\dfrac{21}{65}}, x_{1}=\sqrt{\dfrac{21}{65}}\)
Planteando que Q(1)=I(1) y que Q(x)=I(x) ( o sea le pido grado de precisión al menos 1) obtengo las siguientes ecuaciones para determinar los pesos:
$$A_{0}+A_{1}=16$$
$$A_{0}-A_{1}=0$$
De donde \(A_{0}=A_{1}=8\)
Bueno, si sigo la línea de Gauss, el grado de precisión (no importa si n=1 o n=2, mi duda) deberìa ser tres por lo menos. Pero cuando pruebo para ver si \(Q(x^{2})=I(x^{2})\) resulta que:
La precisión de Gauss está enunciada de manera no natural. Como en las clases enumeramos los nodos de la forma \({x}_{0},\cdots ,{x}_{n}\) la precisión es \(2n+1\), con el \(n\) que dije. O sea, en este caso debería ser \(3\) la precisión.
Con respecto a por qué dan mal las cuentas, me parece que \(I(1)\eq=\int_{-1}^{1}9-{x}^{2}dx\eq=18-\frac{2}{3}\eq=\frac{52}{3}\). De acá sacás:
$${A}_{0}\eq={A}_{1}\eq=\frac{26}{3}$$
Y ahora \(Q({x}^{2})\eq=\frac{26}{3}\frac{21}{65}+\frac{26}{3}\frac{21}{65}\eq=\frac{28}{5}...\)
Saludos.
PD: después movemos el post.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Mostrar que el error que se comete al caclular \(\int_{-1}^{1}(-2x^{3}-3x^{2}+17x+30)dx\) es menor que 1/20 usando que \(\langle p_{2},p_{2}\rangle<\frac{8}{5}\)
El tema es que no puedo factorizar al polinomio de modo que aparezca como factor \(9-x^{2}\) ¿como hago?
Mostrar que el error que se comete al caclular \(\int_{-1}^{1}(-2x^{3}-3x^{2}+17x+30)dx\) es menor que 1/20 usando que \(\langle p_{2},p_{2}\rangle<\frac{8}{5}\)
El tema es que no puedo factorizar al polinomio de modo que aparezca como factor \(9-x^{2}\) ¿como hago?
me parece que lo que pasa es que estas pensando que lo que queres aproximar es la integral de un polinomio. Pero la respuesta podria ser la siguiente.
usando que
$$(-2x^{3}-3x^{2}+17x+30)=(- 2 x^2 - 9 x - 10)(x-3)=( 2x^2 + 9 x + 10)(3-x)$$
$$\int_{-1}^{1}(-2x^{3}-3x^{2}+17x+30)dx=\int_{-1}^{1}( 2x^2 + 9 x + 10)(3-x)dx=\int_{-1}^{1}\frac{( 2x^2 + 9 x + 10)}{(3+x)}(3-x)(3+x) dx=\int_{-1}^{1}\frac{( 2x^2 + 9 x + 10)}{(3+x)}(9-x^2) dx$$
como estas en el intervalo [-1,1] la funcion no tiene ningun problema asique podes trabajar tranquilamente, lo demas es calcular derivadas y usar la cota que te da el teo de gauss supongo