Se define en \(C^{1}([-1,1])\) el producto : \(\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx + \int_{-1}^{1}f'(x)g'(x)dx\)
a) probar que es un prod interno
b) Hallar una Base ortonormal del subespacio generado por \({1,x,x^{2}}\)
c) Hallar el polinomio de grado menor o igual que 2 que mejor aproxima a \(f(x)=sen(\pi x)\) en el sentido del producto interno dado.
Bien...
a) es facil, usando la sutileza de que f es continua y un par de cosas más
b) Se hace con Gram Schdmit logrando la siguiente base ortonormal : \(\mathbb{B}=\{\dfrac{1}{2},\sqrt{\dfrac{3}{8}}x,\sqrt{\dfrac{45}{128}}(x^{2}-\dfrac{1}{3}\}\)
c) Acá está el probleme... tal polinomio se trata de la proyección ortogonal de f sobre S. Luego si es P el polinomio buscado y \(B=\{v_{i}\} (1\leq i\leq 3)\) es una base ortonormal entonces:
Bueno, la cosa es que todos los productos involucrados en esta cuentita me dan cero... o sea que P=0 ... no me suena que aproxime muy bien a f ¿por que me equivoco!!!?
Es que el polinomio puede ser el nulo.
Ejemplo re al margen, que no se si te convence, pero seguro más raro es que este caso. La función \(f(x)\eq={e}^{-\frac{1}{{x}^{2}}\) definida en el \(0\) como \(f(0)\eq=0\) es \({C}^{\infty}\), pero el polinomio de Taylor centrado en el \(0\) es 0, y uno piensa, en general, que el polinomio de Taylor aproxima bien...
De cualquier forma, ¿no da distinto de 0 \(<\sin(\pi x),x>\)? la integral con las derivadas te da 0, pero la primera, \(\int_{-1}^{1}\sin(\pi x)x\dx\) me parece no nula, porque \(\sin(\pi x)x\) es una función par. O sea, me parece que te equivocaste en esa cuenta.
Creo...
PD: fijate que escribiste mal el polinomio. Delante de los productos internos va el polinomio por el que multiplicás el escalar.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities