Dice: sean \({x}_{0},{x}_{1}\) puntos distintos. Demostrar que existe un único P de grado menor o igual que 3, pol. de Hermite, tal que cualesquiera sean \({z}_{1},{z}_{0}\)
$$P({x}_{0})=0,P({x}_{1})=0,P'({x}_{0})={z}_{0},P'({x}_{1})={z}_{1}$$
Bueno... para el caso genérico hay enunciado un teorema en el apunte sin demostración. Yo traté de construirme la matriz y ver que era inversible para ver que existía solución y era única, pero la matriz que me quedó no se parece a la de Vandermonde ni pude convertirla en algo así, y tampoco pude probar a mano haciendo cuentas que el determinante no fuera cero, así que cualquier sugerencia será más que bienvenida
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Te digo rápido porq tengo sueno
TE armás el determinante y te queda
$$x_0^3 x_0^2 x_0 1$$
$$x_1^3 x_1^2 x_1 1$$
$$3x_0^2 2x_0 1 0$$
\(3x_1^2 2x_1 1 0\) perdoná que te lo escriba así nomás pero tengo suenio y poco tiempo :S
Entonces... seguime estos pasos
- lo desarrollás por la 4ta columna, te qedan dos de 3X3 con la 2da y 3ra filas iguales
- Eso es lo mismo que un determinante donde la 2da y la 3ra quedan iguales y en la 1ra fila ponés la resta que te quedó ( recordando qe el determ es un operador multilineal )
- supongamos qe todo eso vale 0 y llegaremosa un abs. asi que igualamos a cero.
- de la 1ra fila sacás factor comun x_0-x_1 fuera del det, y como es no nulo, directamente desaparece (hay que hacer cuentas....)
- eldet no cambia si a una fila le sumás una c.l. de otras, entonces a la 2da fila le restás la tercera
- de la 2da nueva fila sacás fc x_0-x_1 again y haces lo mismo
- desarrollás ese bello determinante y te queda:
\(-x_0^2+2x_0x_1-x_1^2=0\) es decir
\((x_1-x_0)^2=0\) lo que es imposible pues x_0 y x_1 son distintos...
fin
Otra forma más elegante? no se...
Al margen... alguien más, aparte de nosotros dos, se va apresentar? JJAJA!!
bueno, buenísimo! al menos la idea estaba bien.. jaja... será cuestión de arremangarse y hacer ls cuentas.. gracias!
creo que sí, o capaz juanma se presente... vos cuando te fuiste a anotar viste a alguien más? a mi me anotaron el martes pasado y me dijeron que había dos personas anotadas (conmigo incluida)