[Pregunta] Final 16-06-04 ejercicio 1) ii)

El ítem i) es demosrar la convergencia del método de punto fijo, el ítem ii) pide calcular el valor de la siguiente expresión:

Yo lo único que puedo decir es que dada \(g(x)=\sqrt{2+x}\), la expresión está dada por un punto fijo de g. Pero.. cómo encuentro su valor? yo a lo sumo lo que sé hacer es encontrar un intervalo en el que esté contenido, pero el valor de la expresión recién lo puedo obtener iterando un número grande de pasos de de la sucesión de punto fijo y eso claramente no lo voy a hacer a mano...

Está bien lo que pensás....solo hay que escribirlo mejor y listo.

La expresión pedida es igual a \(L=lim_{n\rightarrow\infty}a_n\) donde \(a_n\) puede definirse por recurrencia así: \(a_1=\sqrt{2}\) y \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\)

Entonces considerás la g que vos decís. Notá que la sucesión de punto fijo \(g(x_n)=x_{n+1}\) es la misma que definí arriba. Verificás que g cumple las hipótesis y luego sab}es qe converge a un punto fijo.

Así que L va aser el punto fijo de g, que es 2.

luego \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2\)