dice asi.... (una parte nomás)
Sea la ecuacion \(x+ln(x+1)=2\)
b) Mostrar que r es raíz simple de \(f(x)=x+ln(1+x)-2\). Hallar un \(x_0\) a partir del cual la sucesión dada por newton converge a r. justificar (puede usar argumentos geométricos)
A ver... yo no hice ningún argmuento geométrico. Digo esto:
como \(r\in (1,2)\) tomo por ej el intervalo (0,5;1,5) resulta que, como \(f'(x)=1+\frac{1}{1+x}>1\) para cualquier x>-1 ocurre que \(|f'(x)|\geq\delta\) con \(\delta=1\)
Además \(|f''(x)|=\frac{1}{(1+x)^2}\leq1\) para los x>0. Tomo entonce M=1 Todo esto se cumple en particular en el intervalo dado.
Bueno, usando un teorema visto en clase donde asegura la convergencia de NR para un intervalo \([r-\epsilon,r+\epsilon]\) donde epsilon verifica: \(\frac{M}{2\delta}\epsilon<1\)
Notar que en esta condición ocurre que \(\epsilon<4\) y yo tomé \(\epsilon =0.5\) que verifica esta cota y las hipotesis del teorema.
Luego cualquier \(x_0\in(0.5;1.5)\) sirve.
Ta bien?
yo hice lo siguiente:
sé por bisección que \(r \in (1,2)=I\)
$$f(x)=x+ln(x+1)-2$$
$$f'(x)=1+\frac{1}{x+1}>0 \forall x \in I$$
$$f''(x)=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}>0 \forall x \in I$$
Entonces, en todo I f es creciente y convexa, y puedo probar por inducción que \(\forall {x}_{0} \in I\) la sucesión de punto fijo \({x}_{n}\) es decreciente y acotada inferiormente por r entonces es convergente y tiende a r. (eso no lo pongo acá porque es muy largo jaja)
igual supongo que también está bien lo que vos hiciste, sólo quería contar mi forma jaja
Firma
Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Al fin alguien que me contesta GRACIASS!!!
pensé que era el único qe estaba estudiando esto...
Sólo una observación a lo que dijiste....
deberías tomar dos casos,... \(x_0\) a la derecha de r, o bien a la izquierda, porque las sucesiones te quedan diferentes...
ahora lo voy a hacer de ese modo a ver si me sale. Pero mepa que si tomás a la derecha debería quedar una suc decreciente como vos decís, y si lo tomás a la izquierda pueden pasar dos cosas:
i) que sea una suc creciente y acotada SUPEERIORM por r y listo, porqe es lo mismo
ii) que en una cantidad finita de pasos, digamos n pasos, el \(x_n\) te quede a la derecha de r y listo también porque en tal caso te queda una sucesión que a partir de n se comporta igual que en el caso anterior.
nda mas que eso Saludos!!
no, si lo tomás dentro del intervalo I donde se cumple la condición de que sea creciente y convexa, no hace falta hacer ningún tipo de consideración sobre donde tomás \({x}_{0}\). Fijate, si escribimos:
$${e}_{1}=r-{x}_{1}=\frac{f''(\tita)}{2f'({x}_{0}}{{e}_{0}}^{2}>0$$
Ahí usé la expresión para el error de NR, y el hecho de que ambas derivadas son positivas pues los puntos donde las tomo pertenecen a I. De ahí veo que, no importa donde tomo \({x}_{0}\), a partir de \({x}_{1}\) ya siempre te caen del mismo lado.
Igual, no estoy 100% convencida de lo que digo, pero me parece que una cosa así aclaró armentano en una clase, y mal que mal me convenzo. Me parece que cuando tenés que mirar dónde tomas el \({x}_{0}\) es cuando tenés más de una raiz, o cuando estás en un intervalo donde las derivadas no manteinen el mismo signo. Ahí sí, dependiendo de qué lado tomes el \({x}_{0}\) vas a tener una distinta sucesión, por ejemplo el caso en que la raiz es doble., que ahí tenés que ver si lo tomás de un lado o del otro de la raiz... bueno, si no después armo un ejemplo más puntual, pero a mi me parece que en este caso sirve. pero decime que opinás!!
yo también me alegro de tener apoyo virtual, jaja
claro pasa eso qe vos decis...
o sea la opción ii de que si queda de l otro lado (una cantidad finita sería sólo un paso en este caso jeje!)
buenísimo !! gracias