Pongo lo que tomaron
- Sea \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) inversible, probar que :
a) Si \(x,\delta x, b,\delta b\in\mathbb{R}^n\) y si \(Ax=b\) y \(A(\delta x)=\delta b\) entonces
$$\frac{||\delta x||}{||x||}=Cond(A)\frac{||\delta b||}{||b||}$$
b) Si \(Ax=b\) y \((A+\delta A)(x+\delta x)=b\) entonces:
$$\frac{||\delta x||}{||x+\delta x||}=Cond(A)\frac{||\delta A||}{||A||}$$
- Sea \(<.,.>\) un producto interior en \(V=C(\mathbb{R})\) con norma \(||.||\) y S un subespacio de V generado por \(\{p_0,...,p_n\}\) donde p_i es un polinomio de grado i y además \(<p_i,p_j>=0\) si \(i\neq j\)
a) Pruebe que si los pi son mónicos, entonces son únicos.
b) Dada f en V. Demuestre que lamejor aproximación \(P_S(f)\) a f en V en el sentido de los cuadrados mínimos es
\(P_S(f)=\sum_{j=0}^n<f,q_j>q_j\) donde \(q_i=\frac{p_i}{||p_i||}\)
(acá se supone qe uno ya sabe que \(]P_S(f)\) es la proyección, lo que hay que ver es qe de hecho la formulita esa que te dan es la proyección, o sea cumple con que \(<f-P_S(f),P>=0\forall P\in S\)
c)Hallar el polinomio \(p\in P_1\) (de grado 1) tal que verifica:
$$\int_0^{+\infty}p(x)e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx$$
$$\int_0^{+\infty}xp(x)e^{-x}dx=\int_0^{+\infty}xe^{-2x}dx$$
¿Existe f\notin S tal que \(P_S(f)=P?\)
-
Sea el producto interior \(<f,g>=\int_a^bf(x)g(x)(x^2+2)dx\)
a)Demuestre que si \({x_j}_{j=0}^n\) son los ceeros del polinomio ortogonal de grado n+1 según <.,.>, la fórmula de cuadratura:
\(Q(f)=\sum_{j=0}^nA_jf(x_j)\) es exacta para \(f\in P_{2n+1}\)
b)Hallar la regla de integración numérica para calcular \(\int_0^2f(x)(x^2+2)dx\) que use un sólo nodo y tenga precisión máxima. ¿cuál es dicha precisión? -
determinar los coeficientes del siguiente método numérico multipaso:
\(x_{n+2}+ax_{n+a}+ax_n=h(b_2f_{n+2}+b_1f_{n+1}+b_0f_n)\) de modo que converja con orden 4
(Trampa: tenía orden 3)
Te lo puse todo en un solo post