Por si hay alguien preparando les comento lo que tomaron:
- Era demostrar el teorema de Cholesky: existe una única L triang inf con \({L}_{ii}>0/ A={L}^{t}.L\).
- Decía que si f es contractiva en I y \(f(I)\subseteq I\) pruebes que existe un único punto fijo en el intervalo y que la suc \(f({x}_{n})={x}_{n+1}\) converge a ese punto. Despues era demostrar las cotas del error para el método de punto fijo. Y por último con una de esas cotas te pedía que saques la cantidad de pasos necesarios para que el error te diera menor que \({10}^{-2}\) para una f que te daba.
- Este era un tipico ejercicio de calcular nodos y pesos para una cuadratura que aproximaba una integral. La cuadratura tenia 2 nodos y pedía que la calcularas para que tuviera precisión 3. La segunda parte te preguntaba si era posible tener precisión 4 con 2 nodos y que justificaras por qué.
- Te daban \(y'(x)=f(x,y)\) y \(y(0)=0\) (o algo así) te decía que f es Lipschitz de cte k respecto de la 2º variable. Te daba un método muuuy parecido al Runge Kutta que quedaba en función de f(x,y),x,y y pedía que pruebes que \(\phi(x,y,h)\) era Lipschitz respecto de la 2º variable (salía fácil por lo que sabés de f). Despues de eso te pedía que demostraras la formula del error \(E(j)\leq \frac{{\tau}_{max}}{K}.({e}^{K({x}_{j}-{x}_{0})}-1)\) con K la cte L de \(\phi(x,y,h)\)
En lo último te daba una f Lips y te pedía que calcularas la K de \(\phi(x,y,h)\) (para calcular la K se hacía como en la primer parte del ejercicio por que te quedaba como decirte por ejemplo \(K=k+{k}^{2}\) con k chiquita la cte L de f).
Espero que se entienda, no tengo escritos los enunciados pero eran más o menos así.
Saludos
Editado 1 vez.