Dada \(A \in \mathbb{R}^{n*n}\) si \(DetA(k) \neq 0\) donde \(A(k)\)es el menor principal de orden \(k\) de \(A\), entonces \(a_{kk}^{(k)} \neq 0\) (donde \(a_{kk}^{(k)}\) denota el valor que tiene A en su diagonal luego de hacer el paso k de elminacion gaussiana)
Se supone q cuando uno prueba esto puede probar que existen L y U talque A=L.U
El tema con la demostracion es q la profesora la dejo para q la hagamos nosotros,y nos sugirio probarlo por induccion en k.
Alguien lo hizo?? Yo lo pense pero me trabo en la parte de la hipotesis inductiva y no se como seguir. Mi duda es: Cuando tengo q hacer \(k-1 \Rightarrow k\) supongo q ya tengo mi matriz A del paso k ( \(A^{(k)}\)) y me fijo q si el determinante es 0 entonces el \(a_{kk}\) es cero?????
yo se que \(a_{11}^{(1)} \neq 0....a_{k-1k-1}^{(k-1)} \neq 0\) por HI entonces multiplicando a izquierda por las matrices \({L}_{k-1}...{L}_{1}.A={A}^{(k)}\) que seria la matriz A triangulada hasta tener ceros abajo de \(a_{k-1k-1}^{(k-1)}\) y, siguiendo en la diagonal, \(a_{kk}^{(k)}\).
entonces tengo que \(A={{L}_{1}}^{-1}...{{L}_{k-1}}^{-1}.{A}^{(k)}\)
llamo\(L={{L}_{1}}^{-1}...{{L}_{k-1}}^{-1}\) que es una matriz triangular inferior con 1's en la diagonal.
ahora esto es lo que no estoy muy segura de que valga pero bueno:
\(A(k)=L(k).{A}^{(k)}(k)\) es el menor principal donde \({A}^{(k)}(k)\) resulta ser una matriz triangular inferior con \(a_{jj}^{(j)}\) j=1,...,k en la diagonal donde para j=1,...,k-1 es distinto de cero pero no se si \(a_{kk}^{(k)} \neq 0\)
entonces \(0 \neq det(A(k))=det(L(k)).det({A}^{(k)}(k))=det({A}^{(k)}(k))=a_{11}^{(1)}...a_{k-1k-1}^{(k-1)}.a_{kk}^{(k)}\) pues det(L(k))=1 x tener 1's en la diag
como cada \(a_{jj}^{(j)}\) j=1,...,k-1 es distinto de cero, resulta \(a_{kk}^{(k)} \neq 0\)
vos que opinas sobre la parte de menor principal A(k)? valdra?
me parece que arrancas mal. O sea, cuando decis :"yo se que \(a_{11}^{(1)} \neq 0....a_{k-1k-1}^{(k-1)} \neq 0\) por HI...." te estas equivocando me parece; porq lo q afirmas pasa si los (k-1) menores son positivos....o estoy equivocado???Para mi hay q armarse algo de n*n q sepas q tiene los (n-1) menores positivos y de ahi afirmas la HI...
Lo que tratás de probar es que los \({a}_{kk}^{k}\neq 0\) por inducción. Entonces, el razonamiento inductivo sería:
-para \(k\eq=1\) vale. Esto es cierto pues \(\det (A(1))\eq={a}_{11}\neq 0\) por hipótesis
-si vale para \(j<k\) entonces vale para \(k\)(o sea, una inducción completa). En este caso la hipótesis inductiva es "los \({a}_{ii}^{k-1}\neq 0\forall 1\leq i<k\).
Hasta el paso \(k-1\), por hipótesis inductiva los \({a}_{ii}^{k-1}\neq 0,1\leq i\leq k-1\). Entonces, procedes al paso \(k\)-ésimo por eliminación gaussiana. Como lo que hacés es sumar múltiplos de otras filas no cambía en el proceso el valor del \(\det (A(k))\). Luego, en el paso \(k\)-ésimo el determinante se conserva y como lo que tenés es una matriz triangular superior(hasta la fila k-ésima) ese determinante es \(\prod_{i\eq=1}^{k} {a}_{ii}^{k}\) y deducís(al ser el determinante no nulo y por H.I cada \({a}_{ii}^{k}\neq 0\) para \(i<k\) pues \({a}_{ii}^{k}\eq={a}_{ii}^{k-1}\) para \(i<k\)) que el último \({a}_{ii}\neq 0\). O sea, más o menos lo que dijo Diana. Lo de que los menores sean positivos lo usás para verificar que sea definida positiva y admita descomposición por Cholesky(un tipo particular de descomposición L.U, o si se quiere un corolario de la diagonalización de formas bilineales definidas positivas)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities