Tema
Sea \(X\) un espacio métrico compacto, sea \((f_n)_{n \geq 1}\) una sucesión de funciones continuas de \(X\) en \(\mathbb{R}\) y sea \(f:X\longrightarrow\mathbb{R}\) una función continua. Probar que \((f_n)_{n \geq 1}\) uniformemente a \(f\) si y sólo si para toda sucesión \((x_n)_{n \geq 1}\) en \(X\) que converge a \(x\in X\), la sucesión \((f_n(x_n))_{n \geq 1}\) converge en \(\mathbb{R}\) a \(f(x)\).
Tengo problemas para probar la vuelta, no se bien como encararlo.
Probá por el contrareciproco: Suponé que no converge unifomemente, entonces existe \(\varepsilon\) tal que ...
Intentá seguir este camino, si te trabás posteá lo que hiciste y te ayudo.
Quimey
Creo que salió, lo que hice fue: Si no converge uniformemente, entonces existe \(\epsilon\) tal que para todo n existe x tal que \(d(f_n(x),f(x)) \geq \epsilon\).
Entonces tomé el \(\epsilon\) que sirve y lo llamé \(\epsilon_0\). Y consideré el conjunto \(M_n = \lbrace x \in X : d(f_n(x),f(x)) \geq \epsilon_0 \rbrace\). O sea el conjunto de los x que hacen que no converja uniformemente.
Ahora tomo un elemento de cada \(M_n\). Y me queda una sucesión \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\). Como esta sucesión está en un compacto tiene una subsucesión convergente. Considero entonces \(x_{n_k}\) convergente, y x su límite.
Y por construcción se que \(d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x_{n_k}))\geq\epsilon_0\). Ahora quisiera ver que \(f_{n_k}(x_{n_k})\) no converge a \(f(x)\).
Se que \(\epsilon_0 \leq\d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x_{n_k}))\leq d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x)) + d(f(x),f(x_{n_k}))\)
Se que si \(n_k\) es suficientemente grande y como f es continua, \(d(f(x),f(x_{n_k}))<\frac{\epsilon_0}{2}\).
Entonces \(\frac{\epsilon_0}{2}\leq d(f_{n_k}(x_{n_k}),f(x))\).
Entonces encontré una sucesión \(x_{n_k}\) que converge a \(x\), y que \(f_{n_k}(x_{n_k})\) no converge a \(f(x)\). Entonces por contrarecíproco probé lo que quería.
¿Está bien lo que hice? Me llama la atención que en ningún momento usé el dato de que el codominio de mis funciones es \(\mathbb{R}\)
A mi me parece bastante bien. Igual está mal la negación de la convergencia uniforme, te faltó el "\(n_0\)".