Tema
Sean \((E,\Vert . \Vert_E), (F,\Vert . \Vert_F)\) espacios normados. Consideramos L(E,F):={T : E \(\longrightarrow\) F / T es lineal y continua}, y para cada \(T \in L(E,F)\) sea \(\Vert T \Vert = \sup_{\|x \|_E \leq 1} \| T(x) \|_F\)
Probar:
i)\((L(E,F),\|.\|)\) Es un espacio normado
ii) Si F es de Banach entonces L(E,F) también lo es.
Tengo problemas con el item 2. Ya probé que mi candidato a límite es continua y pertenece a L, me falta sólo ver que efectivamente es el límite.
Ah, me definí \(T(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} T_n (x)\) Que ya probé que es continua y lineal.
\(\forall x \in E, T_n(x)\) es de Cauchy en F \(\Rightarrow T_n(x) \rightarrow \hat{x}\).
Propongo \(\hat{T}(x) = \hat{x}\). Veamos que efectivamente, \(T_n(x) \rightarrow \hat{T}(x)\)
Sea \(\epsilon > 0.\). Como \(T_n\) es de Cauchy, \(\exists n_0 \in \mathbb{N} \diagup\) si n, m \(\geq n_0 \Rightarrow || T_n - T_m|| < \epsilon/4\)
Elijo ese \(n_0\).
Sea x \(\in\) E tal que \(||x|| \leq 1\). Como \(T_n(x) \rightarrow \hat{x} \Rightarrow \exists m>n_0 \diagup ||T_m(x)-\hat{x}|| < \epsilon/4\)
\(\Rightarrow\), por desigualdad triangular, queda que \(|| T_n(x) - \hat{T}(x) || \leq || T_n(x) - T_m(x) || + || T_m(x) - \hat{T}(x) || < \epsilon/2\). Como esto pasa \(x\), de norma 1, al tomar supremo, queda que lo pedido es menor que \(\epsilon\), y listo el pollo. El truquito acá es que para todo x, aunque n tiene que quedar fijo y no depender de x, puedo hacer mover mi m cuanto quiera.