Primer parcial primer cuatr 2011.

(1) Sea,para \(n\in \mathbb{N},\mathbb{F}_{n}=\{[\dfrac{l}{2^{n}},\dfrac{l+1}{2^{n}}]\times [\dfrac{m}{2^{n}},\dfrac{m+1}{2^{n}}]:l,m\in \mathbb{Z},0\leq l,m<2^{n}\}\).
(a)Probar que para cada \(x\in [0,1]\times [0,1]\), existe una sucesión de conjuntos \(F_{n}\in \mathbb{F}_{n}\) tal que \(F_{n+1}\subseteq F_{n}\) y \(\{x\}=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}F_{n}\).
(b)Hallar el cardinal del conjunto de puntos de \([0,1]\times [0,1]\) para los cuales hay más de dos elecciones posibles de encajes \((F_{n})_{n\in \mathbb{N}\).

**(2)**Sea \(A\) un conjunto y sea \(a=|A|\geq 2\).
(a)Probar que \(A\) es infinito si y solo si existe \(f:A\rightarrow A\) tal que \(\forall x\in A\), se tiene que \(|f^{-1}(\{x\})|=a\).
(b).Si \(A\) es infinito,calcular \(|\{C\in P(A):|C|=a\}|\)

**(3)**Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sea \(A\) un subconjunto de \(X\).Consideramos \(B(A,\varepsilon)=\{y\in X:\exists a\in A\mbox{ tal que } d(a,y)<\varepsilon\}\) y sea \(G_{A}\) la familia de abiertos que contienen a \(A\).Probar la validez de las siguientes expresiones:
\(\overline{A}=\bigcap_{\varepsilon>0}B(A,\varepsilon)\),\(A=\bigcap_{G\in G_{A}}G\)

**(4)**Probar que los siguientes espacios son separables.
(a)\((C([a,b],\mathbb{R}),d_{\infty})\).
(b)\((C(K,\mathbb{R}),d_{\infty})\) donde \(K\) es compacto

**(5)**Sea \(d:l^{\infty}\times l^{\infty}\) definida por \(d(a,b)=\displaystyle\sum \dfrac{|a_{n}-b_{n}|}{2^{n}}\)
(a)Probar que \((l^{\infty},d)\) es un espacio métrico separable y que \(d\) y \(d_{\infty}\) no son topológicamente equivalentes.
(b)¿Es completo?

Alguien me tira un hint para el 2.b? Sospecho que tiene el mismo cardinal que a, pero no logro encontrarme la inyección correcta.

....Supongo que hay que usar el 2.a pero no se cómo 🙁

No creo que sea a, fijate que pasa con los naturales...

Si, el otro día lo estuvimos charlando es \(2^a\). Por un lado al estar dentro de P(A), sale que su cardinal es \(\leq 2^a\).
Para probar la otra desigualdad, la idea era considerar las funciones de A en A, a cada función asignarle su gráfico. Esta función es inyectiva, y el gráfico es un subconjunto de cardinal a de AxA, que está en biyección con A. Así que componiendo todo, me queda una función inyectiva que va de las funciones de A en A a los subocnjuntos de cardinal a de A. Y entonces me queda que
\(2^a \leq\) # \((P_a(A))\)