**(1)**Sean \(X\) e \(Y\) espacios métricos,con \(Y\) completo.Sea \(A\subseteq X\) totalmente acotado y \(f:A\rightarrow Y\) uniformemente continua.Probar que \(\overline{f(A)}\) es compacto.
**(2)**Sean \(A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:xy\in \mathbb{Q} \lor x^{2}-y^{2}=0\}\) y \(B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:y\neq 0 \land \frac{x}{y}\in \mathbb{Q}\}\).
**(a)**Probar que \(A\) y \(B\) son densos de interior vacío.
**(b)**Determinar si \(A\) y \(B\) son conexos.
**(3)**Sea \(X\) un espacio métrico compacto e infinito y sea \(C(X,[0,1])\) el espacio de las funciones continuas de \(X\) al \([0,1]\).Para \(M\in \mathbb{R}_{>0}\),consideremos \(V_{M}=\{f\in C(X,[0,1]):sup_{x\neq y}\dfrac{|f(x)-f(y)|}{d(x,y)}<M\}\).Probar que \(V_{M}\neq C(X,[0,1])\).
**(4)**Consideremos el espacio vectorial \(C^{1}[0,1]\) y las funciones \(\|.\|_{1},\|.\|_{2}:C^{1}[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) definidas por: \(\|f\|_{1}=\|f'\|_{\infty}+|f(0)|,\quad \|f\|_{2}=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty}\)
**(a)**Probar que son normas y que con cualquiera de ellas,\(C^{1}[0,1]\) resulta un espacio de Banach.
**(b)**Determinar si son equivalentes.
**(5)**Sea \(E\) un espacio de Banach real y sea \(\phi\in E^{\star}\)(el dual topológico).Definimos en \(E\) la relación de equivalencia dada por \(x\equiv y \Leftrightarrow y-x\in Ker(\phi)\).Sea \(\widetilde{E}\) el conjunto de las clases de equivalencia y definamos en \(\widetilde{E}\), \(\|\overline{x}\|_{\phi}=d(x,Ker(\phi))\).Probar que \(\|.\|_{\phi}\) está bien definida,que es una norma,y que \((\widetilde{E},\|.\|_{\phi})\) resulta un espacio de Banach isomorfo a \(\mathbb{R}\)