**(1)**a)Sea \(X\) un espacio métrico, \(x_{0}\in X\) y \(\epsilon>0\).Definir una función continua \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\) tal que\(f(x_{0})=\epsilon\) y \(f(x)=0\quad\forall x\in B(x_{0},\epsilon)^{c}\).
b)Sea \(X\) un espacio métrico no compacto.Definir una función continua \(f:X\rightarrow \mathbb{R}\) no acotada(Sugerencia:usar la parte a)).
**(2)**a)Sea \(X\) un espacio métrico totalmente acotado e \(Y\) un espacio métrico;sea \(f:X\rightarrow Y\) una función uniformemente continua y sobreyectiva.Probar que \(Y\) es totalmente acotado.
b)¿Sigue siendo válido el resultado si \(f\) es solamente continua(y sobreyectiva)?
**(3)**Dada \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) una función,definamos \(f_{n}(t)=f(nt)\) para cada \(n\in \mathbb{R}\).Si \(\{f_{n}\}\) es equicontinua en \(0\).¿Qué conclusión se puede sacar de \(f\)?
**(4)**Sea \(V\) un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.Definir una norma \(\|.\|:\rightarrow \mathbb{R}\) (Para ello,admitir el axioma de elección y usar el corolario de que todo espacio vectorial tiene base)
**(5)**Sea \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continua,tal que \(f(f(x))=x\quad \forall x\in [0,1]\).Probar que o bien \(f\equiv id_{[0,1]}\),o bien \(f\) tiene un único punto fijo.
Una pista:
Primero probá que f es monotona. Te quedan 2 casos, creciente o decreciente. En el primero es la identidad y en el segundo tiene un solo punto fijo (todo esto hay que probarlo, obvio)
Claro, eso ya se sabía: como tiene inversa (es ella misma) es inyectiva. Luego, es creciente o decreciente. Lo que yo pensé es que, en el primer caso, f(0)=0 y f(1)=1 (porque si no tendría que volver, entonces no sería inyectiva, etc...). En el medio, no puede tener ninguna "panza" porque, en ese caso, al invertir, no queda igual, ya que la inversa es simétrica con respecto a la recta y=x. Por lo tanto, no le queda otra que ser lineal, o sea, la identidad porque es la única que pasa por esos dos puntos. El problema es que no sé cómo escribir bien eso, cómo justificarlo correctamente. Si la función fuera derivable es más fácil porque podés usar el criterio de la derivada segunda y la derivada de la inversa por el tema de la concavidad.
En el caso decreciente, f(0)=1 y f(1)=0. Y en el medio tampoco puede tener panza por la misma razón. Entonces, tiene que ser f(x)=1-x.
Pero no sé si está bien ni cómo justificarlo. Hasta ayer estas eran todas mis conclusiones.
Saludos!
Afirmación:
Si f es creciente y \(f(f(x))=x\) entonces \(f(x)=x\).
Prueba:
Por el absurdo. Supongamos que existe \(x\) tal que \(f(x)\neq x\). Hay dos opciones \(f(x)<x\) o \(f(x)>x\).
Si \(f(x)<x\) aplicando \(f\) a ambos lados de la desigualdad obtenemos \(x=f(f(x))<f(x)\) (la desigualdad se preserva porque f es creciente) y por lo tanto \(x<x\), absurdo! El otro caso es igual.
También vale que si f es decreciente y \(f(f(x))=x\) entonces f tiene un solo punto fijo pero te dejo para que lo demuestres vos.
Perfecto, gracias, ya le agarré la onda. Estuve pensándolo un montón, pensé que iba a ser más rebuscado.
Si f decrece, agarro dos puntos fijos (a y b) y supongo que a < b. Luego, f(b) < f(a). Como a y b son puntos fijos, b < a. Absurdo.
Ahora supongo la otra desigualdad, hago lo mismo y llego a una contradicción de nuevo. Por lo tanto, b=a.
La estás definiendo sobre dos cerrados, ambas partes son continuas y coinciden en la intersección de tus cerrados, por el lema de pegado para cerrados (yo lo conozco con ese nombre, puede que le hayan puesto otro nombre en la teórica) \(f\) resulta continua.
y para la parte b, sugerencia:
Como \(X\) no es compacto sabés que existe una sucesión sin puntos de acumulación. Intentá construirte una función que cumpla lo de la parte a para cada \(x_n\) (y \(\varepsilon_n\) adecuados).
Hay más ayuda sobre cómo hacerlo en el Langes Lima, en la edición que tengo yo, está en la página 224 (es por la sección "Caracterizaciones de espacios compactos").
Sea \(x_n\) la solución que no tiene puntos de acumulación. Entonces, para cada \(x_n\), existe un \(\epsilon_n\)
tq B(\(x_n\), \(\epsilon_n\)) queda aislado. Sea \(r_n = min \lbrace \epsilon_n, 1/n \rbrace\).