Primer parcial segundo cuatrimestre 2010.

1)Sea \(A=\{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\mbox{ continuas }:f(\mathbb{Q})\subseteq \mathbb{Q}\}.\)Calcular el cardinal de A.

2)Consideramos el espacio \(C^{1}([0,1])\),y la función \(d:C([a,b])\times C([a,b])\rightarrow \mathbb{R}\)

a)Probar que \(d\) es una métrica en \(C^{1}([0,1])\) b)Decidir si las métricas \(d_{\infty}\) y \(d\) son topológicamente equivalentes en \(C^{1}([a,b])\)(Como siempre \(d_{\infty}(f,g)=sup_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|)\)

3)Sea \(M\) un espacio métrico,\(A\) y \(B\) subconjuntos disjuntos de \(M\).Probar que si \(\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\emptyset\) ,entonces existen abiertos disjuntos \(U\) y \(V\) tales que \(A\subseteq U\) y \(B\subseteq V\).¿Vale la recíproca?

4)Sea \(l^{\infty}\) el espacio de las sucesiones acotadas de números reales.Sea \(d_{1}:l^{\infty}\times l^{\infty}\rightarrow \mathbb{R}\), definida por \(d_{1}(a,b)=\displaystyle\sum{\dfrac{|a_{n}-b_{n}|}{2^{n}}}\).
Probar que \(d_{1}\) es una métrica en \(l^{\infty}\).¿Es el espacio \((l^{\infty},d_{1})\) separable?.

5)Sea \(X\) un espacio métrico completo y consideremos \(C(X)\) el espacio de las funciones continuas de \(X\) a valores reales con la métrica del supremo.Supongamos que para cada \(x\in X\),el conjunto \(\{f(x):f\in C(X)\}\) es acotado en \(\mathbb{R}\).Probar que existe un abierto no vacío \(U\subseteq X\) y una constante \(C>0\) tal que \(\forall x\in U\) y \(\forall f\in C(X)\),se tiene que \(|f(x)|\leq C\)

Diviértanse 😈