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Segundo Parcial Segundo cuatrimestre 2010

0 respuestas 4857 visitas 2010-12-09

#1 gonzali_yo 2010-12-09 02:48

a)Sean \(X,Y,Z\) espacios métricos con \(Y\) compacto. Sean \(f:X\rightarrow Y\) una función, \(g:Y\rightarrow Z\) una biyección contínua y \(h=g\circ f\). Probar que si \(h\) es uniformemente contínua entonces también lo es \(f\).
b)Mostrar con un ejemplo que la compacidad no puede omitse para \(Y\), incluso si \(X,Z\) son compactos.

a)Hallar todas las \(\varphi :[0,1]\rightarrow [0,+\infty)\) contínuas tales que el conjunto

A=\{ f\in C[0,1] / \mid{f(x)}\mid\leq\varphi(x) \forall x\in [0,1]\}

es compacto en \(C[0,1]\) b)Sean \(X\) un conjunto compacto y \(\varphi :X\rightarrow (0,+\infty)\). Si

A=\{ f\in C(X) / \mid{f(x)}\mid\leq\varphi(x) \forall x\in X\}

es compacto en \(C(X)\), probar que \(X\) es un conjunto finito.

a)Sean \(X,Y\) espacios métricos arcoconexos, \(A\subset X\) y \(B\subset Y\) subconjuntos propios.
Probar que \((A\times B)^c \subset X\times Y\) es arcoconexo.
b)Sean \(X,Y\) espacios métricos conexos, \(A\subset X\) y \(B\subset Y\) subconjuntos propios.
Probar que \((A\times B)^c \subset X\times Y\) es conexo.

Sean \((a_n)\in\ell^\infty\), y definamos una función \(T:\ell^1\rightarrow C[0,1]\) según

T((b_n))(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n . b_n . x^n

Probar que \(T\) está bien definida y que es lineal y contínua. Calcular \(\parallel T\parallel\)

Probar que la serie

\sum_{n\geq 1}(-1)^n\frac{x^2+n}{n^2}

converge uniformemente en cada intervalo acotado pero no en \(\mathbb R\)