Probar que \((l_{\infty} ,d_{\infty}\)) es completo
Tengo un pequeño mareo con la sucesion de sucesiones. Hice esto:
\(l_{\infty}=\lbrace (X_{n})\subseteq \mathbb{R} /X_{n}\) esta acotada \(\rbrace\). Voy a tomar una sucesion de Cauchy adentro de \(l_{\infty}\)y me voy a fijar que converge en \(l_{\infty}\). Sea \((X_{n}^{m})\) sucesion de Cauchy en \(l_{\infty}\) (se mueve en \(m\)).
Dado un \(n\) fijo, \((X_{n}^{m}) \subseteq \mathbb{R}\) y \(\mathbb{R}\) es completo, entonces \((X_{n}^{m})\), con \(m \rightarrow +\infty\), converge a \(X^{m}\). \(X^{m} \in l_{\infty}\) pues: \(\vert X^{m} \vert \leq \vert (X_{n}^{m})- X^{m} \vert + \vert (X_{n}^{m}) \vert < \epsilon + M\) (uso que es de Cauchy para la primera, y que esta acotada para la segunda). Luego \(X^{m} \in l_{\infty}\).. Finalmente quiero ver que \((X_{n}^{m}) \rightarrow X^{m}\).
Como \((X_{n}^{m})\) es de Cauchy, si \(k,m \geq n_{0} / d_{\infty}((X_{n}^{m}),(X_{n}^{k}))<\epsilon /2.\). Si hago tender k al infinito, obtengo que\(d_{\infty}((X_{n}^{m}),(X^{k}))<\epsilon /2 < \epsilon\). Entonces, si hago \(d_{\infty}((X_{n}^{m}),(X^{m}))= sup \vert (X_{n}^{m} - X_{m}) \vert \leq sup (\epsilon/2) < \epsilon\)
Luego, converge, y converge en \(l_{\infty}\)
Esta bien lo que hice?