[No Resuelto] 1 C-2004, 23 de julio, ejercicio 2

Sea el espacio metrico \(C(\left[ 0,1 \left], d)\) donde \(d(f,g)= sup \vert f(x)-g(x) \vert\). Probar que el conjunto \(A=\lbrace g \in C(\left[ 0 ,1 \left]) / 0<g(x)<1 \forall x \in \left[ 0,1\left] \rbrace\)

Yo hice esto:

Para ver que es abierto qvq \(\forall g \in A \exists r_{g}>0 /B(g,r_{g}) \subseteq A\)
Como \(g(x)\) es continua en el intervalo cerrado \(\left[0,1\left]\), entonces admite maximo y minimo en el intervalo. Los llamo \(a=max(g(x))\) y \(b=min(g(x))\). Ademas como \(0<g(x)<1 \forall x \in \left[0,1\left]\), obtengo que \(0<b<a<1\). Voy a tomar como \(r_{g}=a-b\).
Veamos que \(B(g(x),a-b) \subseteq A\). Sea \(f(x) \in B(g(x),a-b)\). Luego, por estar en la bola, \(a-b > sup \vert f(x)-g(x) \vert > \vert f(x)-a \vert\). Desarrollo esta desigualdad y obtengo que: \(-(a-b)< f(x) - a<a-b \Leftrightarrow b<f(x)<2a-b\). Luego \(f(x)>b>0\).
Ademas \(a-b > sup \vert f(x)-g(x) \vert > \vert f(x)-b \vert\). Entonces obtengo que: \(-(a-b)< f(x) - b<a-b \Leftrightarrow 2b-a<f(x)<a<1\).
Finalmente obtengo que \(0<f(x)<1\). Luego \(f(x) \in A\)

Ya se qe es re viejo, pero capaz alguien lo lee...

Para mí tomar a-b no te garantiza la inclusión de la bola en el conjunto A. Por ejemplo, tomemos g la función lineal que va de (0,0.1) a (1,0.9) claramente en A. luego \(r_g=0.8\) Pero notar que la función \(f(x)=g(x)+0.6\) Está en la bola (pues \(d(f,g)=sup_{x\in\[0,1]}|f(x)-g(x)|=0.6<0.8\) Pero \(f(1)=g(1)+0.6=1.5>1\) con lo cual f claramente no está en A

Yo sugiero tomar como radio \(r_g=\frac{1}{2}\min\{1-a,b\}\) creo que con eso funciona.

Falta terminar el enunciado... por lo que dicen las demostraciones creo que falta "es abierto" 😆