Sea \(C = \lbrace (X_{n}) \in l_{\infty}\) :existe \(lim X_{n} \rbrace\)
Probar que es un espacio metrico completo con \(d_{\infty}\)
Anteriormente vimos que \((l_{\infty},d_{\infty})\) es un espacio metrico completo. Por ello, basta ver que \(C\) es cerrado ( O, como sabemos que \(C \subseteq \bar{C}\), basta ver que \(\bar{C} \subseteq C\))
Sea \(x_{n} \in \bar{C}\). Entonces, \(\forall \frac{\epsilon}{2}>0, B(x_{n},\frac{\epsilon}{2}) \cap C \neq \emptyset\). Luego, \(\exists y_{n}\) acotada y convergente tal que \(d_{\infty}(x_{n},y_{n})< \frac{\epsilon}{2}\). Veamos que \(x_{n}\) esta acotada y que converge (lo que significaria que pertenece a C). Luego, \(d_{\infty}(x_{n},0) = \vert x_{n} \vert \leq \vert x_{n}- y_{n} \vert + \vert y_{n} \vert \leq M + \frac{\epsilon}{2}\) ( en el primer caso porq converge y en el segundo porq esta acotada. Luego \(x_{n}\) esta acotada. Veamos que converge al limite de \(y_{n}\) (llamemosle \(x\))
\(d_{\infty}(x_{n},x) \leq d_{\infty}(x_{n},y_{n}) + d_{\infty}(y_{n},x) = sup \vert x_{n}- y_{n} \vert + sup \vert y_{n} - x \vert\)\(< sup \frac{\epsilon}{2} + sup \frac{\epsilon}{2} < \epsilon\) ( en el primer caso porque \(y_{n} \in B(x_{n},\frac{\epsilon}{2})\), y en el segundo pues converge a x)
Entonces \(x_{n}\) esta acotada y tiene limite, entonces esta en C. Entonces C es cerrado