Veamos que tiene cardinal c. En particular, este conjunto son las sucesiones de 0's y 1's tal que hay una cantidad numerable de estos 0's y 1's.
Sea \(B= \lbrace \mathbb{N} \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace \rbrace\), tal que \(\sharp B= 2^{\aleph _{0}} = c\). Luego, \(\sharp A \leq c\).
Para ver la otra desigualdad, observemos que el conjunto de Partes numerables de \(\mathbb{R}\), \(P(\mathbb{R}) \subseteq A\) pues si tomo un subconjunto de \(P(\mathbb{R})\) , escribo sus componentes en base 2, y como tengo numerables reales, forman una sucesion de 0's y 1's con numerables 0's y 1's. De la practica sabemos que \(\sharp P(\mathbb{R}) = c\). Luego, \(\sharp A \geq c\)
Luego, vale la igualdad, entonces no es numerable
Que opinan??
Perdon por tantos ejercicios de cardinalidad
Defino la funcion que toma una sucesion de 0's y 1's con numerables 0's y 1's, y la mando a \(( b_{n}, c_{n})\) donde \((b_{n})\) es la sucesion de indices del 0 en la sucesion original, y \(c_{n}\) es la sucesion de indices del 1 de la sucesion original. Esta funcion es biyectiva, y como va a \(\mathbb{N} \times \mathbb{N}\), luego es numerable
La última propuesta es incorrecta pues \((b_n,c_n)\) no vive en \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\)como dice ahí si no que es un elemento de \(\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\times\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\)
Yo pensé en lo siguiente. Como la sucesión tiene conjunto imagen con dos elementos, ubicando los lugares donde hay 0´s queda perfectamente definida. Tomemos entonces el conjunto \(P_{\aleph_0}(\mathbb{N})\) es decir el conjunto de partes numerables de los naturales. Como \(P(\mathbb{N})=\{N\in\mathbb{N}:\mathbb{C}(N)<\aleph_0\}\cup P_{\aleph_0}(\mathbb{N})\), sabemos que \(\mathbb{C}(P(\mathbb{N}))=c\) y que \(\mathbb{C}(\{N\in\mathbb{N}:\mathbb{C}(N)<\aleph_0\})=\aleph_0\), entonces \(\mathbb{C}(P_{\aleph_0}(\mathbb{N}))=c\)
Ahora tomo la función \(\phi : P_{\aleph_0}(\mathbb{N})\rightarrow A\) tal que\(\phi(N)=(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) definida así: \(a_n=1\)si \(n\in N\)y \(a_n=0\) si \(n\notin N\)
Puede verse que la función es biyectiva así que A tiene igual cardinal que \(P_{\aleph_0}(\mathbb{N})\) o sea c.