Este conjunto son las sucesiones de 0's y 1's tal que el 0 aparece finitas veces en la sucesion. Supongamos que son \(m\) la cantidad de 0's que hay.
Definimos \(B= \lbrace a \in \mathbb{N}^{m} \rbrace\) donde \(\sharp B = \aleph _{0}\)
Definimos \(g: A \rightarrow B\) tal que \(g(a_{n})=b_{n}\) tal que en el lugar \(b_{i}\) esta el lugar que ocupa el i-esimo 0 de an en an (es decir: \(b_{1}=\)el lugar q ocupa el primer 0 de an en an). Esta funcion es claramente biyectiva. Antes vi que \(\sharp B = \aleph_{0}\). Entonces, \(\sharp A = \aleph_{0}\)
no entiendo muy bien lo que hiciste, pero me parece que esta mal:
el m depende de la sucesion, entonces estas definiendo una biyeccion para cada sucesion... (pero no estan bien definidas)
quise decir: a una sucesion, la mando a la sucesion q en el lugar i-esimo tiene el numero que le corresponde al 0 en la sucesion original.
Paraq que se entienda:
Si \(a_{n} = (1000111....1)\), entonces f(an)=(234) que son los lugares donde hay ceros
Primero defino \(A_m:=\{(x_1,...,x_m)/x_i=0 \o x_i=1\forall i,1\leq i\leq m\}\) Este conjunto tiene cardinal \(2^m\) asi que es a lo sumo numerable. Ahora considero el conjunto \(L:=\bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_m\) que es unión numerable de conjuntos a lo sumo numerables luego es numerable.
como para cada elemento f de A ocurre que \(f^{-1}(\{0\})\) es finito, tomando \(f\in A\) existe \(k=max\{n\in\mathbb{N}: f(n)=0\}\) Luego defino \(m=k-1\in\mathbb{N}\) Y considero la función \(\phi :L\rightarrow A\) tal que a cada m-upla de L le asigna una sucesión en A cuyos primeros m términos son los de la m-upla, el término m+1 ( o el k-ésimo) es 0 y los restantes son 1.
Tal función es biyectiva asi que el cardinal de A es \(\aleph_0\)