Sean \(C(\mathbb{R})=\lbrace f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} / f es continua \rbrace\) y \(C(\mathbb{Q})= \lbrace f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} / f es continua \rbrace\).
- Recordando que \(\sharp C(\mathbb{Q}) = c\), calcular \(\sharp C(\mathbb{R})\)
- Calcular \(\sharp \lbrace f \in C(\mathbb{R}) /\) f es estrictamente creciente \(\rbrace\)
Yo hice lo siguiente
- Como \(C(\mathbb{Q}) \subseteq C(\mathbb{R})\), entonces \(c = \sharp C(\mathbb{Q}) \leq \sharp C(\mathbb{R})\)
Por otra parte \(C(\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). Entonces \(\sharp C(\mathbb{R}) \leq \sharp \mathbb{R}^{\mathbb{R}} = c^{c} = c\). Entonces, \(\sharp C(\mathbb{R}) \leq c\)
Luego, vale la igualdad, es decir \(\sharp C(\mathbb{R}) = c\)
Ademas se me ocurrio probar el \(\sharp C(\mathbb{Q}) \geq \sharp C(\mathbb{R})\) construyendo una funcion inyectiva usando que \(\mathbb{Q}\) es denso en \(\mathbb{R}\). Entonces defino \(G : \lbrace C(\mathbb{R}) \rightarrow C(\mathbb{Q})\) talque a una funcion en \(C(\mathbb{R})\) le agarra el dominio y a cada real lo cambia por el racional mas cercano. Esta esto bien??? Como se escribiria bien???
- Yo se que \(\lbrace f \in C(\mathbb{R}) /\) f es estrictamente creciente \(\rbrace\)\(\subseteq C(\mathbb{R})\). Luego, \(\sharp \lbrace f \in C(\mathbb{R}) /\) f es estrictamente creciente \(\rbrace\)\(\leq \sharp C(\mathbb{R}) = c\)
Por otro lado, sabemos \(A= \lbrace (a_{n})_{n \in \mathbb{N}}) / a_{n} \leq a_{n+1} \rbrace\) tiene cardinal \(c\). Luego \(A \subseteq\)\(\lbrace f \in C(\mathbb{R}) /\) f es estrictamente creciente \(\rbrace\). Entonces \(c = \sharp A \leq\)\(\sharp \lbrace f \in C(\mathbb{R}) /\) f es estrictamente creciente \(\rbrace\)
Finalmente, vale la igualdad
Acepto cualquier reclamo o sugerencia...si alguein puede, fijese eso que pregunto en el ej 1
graciasss
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