(la numeración es así. No fue idea mía...)
\(\alpha\)) Sea \((M,d)\) un espacio métrico separable. Probar \(|M|\leq c\)
Como \(M\) es separable, existe un denso \(D\subseteq M\) contable. Luego, dado \(x\in M\), existe \({({d}_{n})}_{n}^{x}\in {D}^{\mathbb{N}}\) tal que \({d}_{n}^{x}\rightarrow x\). Podemos definir, en virtud del axioma de elección, la función:
$$\mathcal{F}:M\rightarrow {D}^{\mathbb{N}}$$
$$\mathcal{F}(x)\eq={({d}_{n})}_{n}^{x}$$
La inyectividad es inmediata, dado que \(\mathcal{F}(x)\eq=\mathcal{F}(y)\implies {{d}_{n}}^{x}\eq={{d}_{n}}^{y}\rightarrow x\eq=y\)
Ahora, tenemos \(|M|\leq |{D}^{\mathbb{N}}|\eq=|D|^{|\mathbb{N}|}\leq {{\aleph}_{0}}^{{\aleph}_{0}}\eq=c\) como queríamos ver.
\(\beta\)) Sea \((\mathcal{O},\subseteq)\) el conjunto parcialmente ordenado dado por \(\mathcal{O}\eq=\{S\subseteq \mathbb{R}:|S|\leq {\aleph}_{0}\}\) y el orden dado por la inclusión. Probar:
\({\aleph}_{0}\))Toda cadena numerable \(\mathcal{C}\eq={({S}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq \mathcal{O}\) está acotada superiormente en \(\mathcal{O}\)
Tomamos \(S\eq={\bigcup}_{n\in \mathbb{N}} {S}_{n}\). Como cada \({S}_{n}\) es contable, la unión contable de contables es contable, teniendo \(S\in \mathcal{O}\). Como \({S}_{i}\subseteq {\bigcup}_{n\in \mathbb{N}}{S}_{n}\), tenemos que la cadena \(\mathcal{C}\) está acotada superiormente por \(S\), elemento de \(\mathcal{O}\)
\({\aleph}_{1}\))\((\mathcal{O},\subseteq)\) no tiene elementos maximales
Sabemos que el conjunto de partes de \(\mathbb{R}\) contable tiene cardinal \(c\). Luego, de tener elemento maximal \(M\), tendríamos \(M\subseteq Y,\,Y\in \mathcal{O}\implies M\eq=Y\). Pero esto no es posible. En efecto, Si \(M\) es elemento maximal de \(\mathcal{O}\), debería valer \(S\subseteq M,\forall S\in \mathcal{O}\). Luego debería verificarse \({\bigcup}_{S\in \mathcal{O}} S\subseteq M\), pero tal unión es equipotente al conjunto de partes numerables de \(\mathbb{R}\) que tiene cardinal \(c\)(la biyección es evidente; se asigna a cada conjunto si mismo), como antes dijimos, con lo que \(M\) debe debe tener cardinal mayor o igual que \(c,|M|\geq c\). Pero \(M\in \mathcal{O}\), con lo que es contable. De aquí se desprende el absurdo y sigue que un tal elemento maximal no existe.
\({\aleph}_{2}\))¿Por qué no es posible aplicar el lema de Zorn para probar la existencia de elementos maximales?
Para aplicar el lema de Zorn, debemos tener toda cadena no vacía acotada superiormente por un elemento que pertenezca a la cadena. Por lo anterior, una cadena no contable de \(\mathcal{O}\) no está acotado superiormente, como vimos. Luego no es aplicable el lema.
Corrección: en el ejercicio \({\aleph}_{1}\) hay un error, referido a la definición de elemento maximal. En el próximo post yossa lo resolvió bien.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
