Ejercicio 1. Caracterizar todos los espacios métricos no conexos tales que todo subconjunto propio abierto es conexo.
Ejercicio 2. Sea \((\alpha_n)_n \in \ell_{\infty}.\) Se define \(M_\alpha : \ell_p \rightarrow \ell_p\) como \(M_\alpha (x) = (\alpha_n x_n)_n\)
i) Probar que está bien definida, que es lineal, continua y calcular su norma.
ii) Probar que es inyectiva si, y solo si \(\alpha_n \neq 0\) para todo \(n \in \mathbb{N}.\)
Mostrar además que si \((1/\alpha_n) \in \ell_{\infty}\) entonces resulta un isomorfismo.
Ejercicio 3. Sea la serie \(\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{x^{n+1}}{1+x^{2n}}\)
i) Hallar los \(x \in \mathbb{R}\) donde la serie converge.
ii) Probar que la convergencia es uniforme en \([a, +\infty)\) para todo \(a>1.\)
iii) ¿Converge uniformemente en \((1,2)\)?
Ejercicio 4. Sea \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) una función derivable en \([a,b]\) que verifica que \(f([a,b]) \subset [a,b]\) y que \(|f'(x)| \leq \lambda < 1\) para todo \(x \in [a,b].\)
i) Probar que \(f\) tiene un único punto fijo \(p.\)
ii) Dado cualquier \(x_0 \in [a,b]\) se define la sucesión \(x_n = f(x_{n-1}).\) Probar que \(x_n \rightarrow p.\)
iii) \(|x_n - p| \leq \frac{\lambda^n}{1- \lambda} |x_1 - x_0|\) para todo \(n \in \mathbb{N}\)
Falta el último que no me lo acuerdo, después lo subo.
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