Dejo el exámen del martes pasado.
Ejercicio 1. Sea \(A \subseteq \mathbb{R}^2\) numerable. Probar que \(\mathbb{R}^2 - A\) es conexo.
Ejercicio 2. Sea \(H = \{ x \in \mathbb{R}^n : a_1x_1+...+a_nx_n\}\) un hiperplano en \(\mathbb{R}^n.\)
Probar que \(\mathbb{R}^n - H\) tiene exactamente dos componentes conexas.
Ejercicio 3. Para cada \(n \in \mathbb{N}\) consideramos
Probar que la serie de funciones \(\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n(x)\)
i) Converge puntualmente en \(\mathbb{R}_{\geq 0}\) si \(\alpha > 0\), y la convergencia es uniforme en semirectas cerradas que no contienen al 0.
ii) Converge uniformemente en \(\mathbb{R}_{\geq 0}\) si \(\alpha > 1/2\)
Ejercicio 4. Sean \(E, F\) espacios de Banach y sea \(T \in \mathcal{L}(E,F).\)
i) Probar que son equivalentes:
(1) \(\overline{T(A)}\) es compacto para todo \(A \subseteq E\) acotado.
(2) Dada \((x_n)_n \subset E\) acotada vale que \((T(x_n))_n\) tiene una subsucesión convergente.
Decimos que un operador es compacto si se cumple alguna de las propiedades anteriores.
ii) Probar que \(id : E \rightarrow E\) es compacto si y sólo si \(E\) tiene dimensión finita.
Ejercicio 5. Sea \(X\) un espacio métrico compacto y conexo. Sea \(F \subseteq C(X)\) una familia de funciones equicontinua. Supongamos que existe \(x_0 \in X\) tal que \(F(x_0) = \{f(x_0) : f \in F \}\) es acotado.
Probar que \(\overline F\) es compacto.