Segundo parcial - 10/7/2012

Dejo el exámen de hoy.

Ejercicio 1. Sean \(A \subset \mathbb{R}\) y \(B \subset \mathbb{R}^2.\)
Probar que si \(A\) y \(B\) son homeomorfos, entonces \(B^{\circ} = \emptyset.\)

Ejercicio 2. Sea \(f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) continua tal que \(f(0) = f(1).\)
Probar que dado \(n \in \mathbb{N}\), existe \(x \in [0,1]\) tal que \(x + \frac{1}{n} \in [0,1]\) y \(f(x) = f(x + \frac{1}{n}).\)

Ejercicio 3. Sean \(E, F\) espacios de Banach y sea \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{L}(E,F)\) una familia de funciones que satisface \(\displaystyle\sup_{T \in \mathcal{F}}{||Tx||} < \infty\) para todo \(x \in E.\)
Probar que \(\displaystyle\sup_{T \in \mathcal{F}}{||T||} < \infty.\)

Sugerencia: Considerar \(E_n = \{x \in E : \displaystyle\sup_{T \in \mathcal{F}}{||Tx||} < \infty\}.\)

Ejercicio 4. Sea \((X,d)\) un espacio métrico. Consideramos en \(X \times R\) la métrica \(\delta((x,t),(y,s)) = d(x,y) + |t - s|.\)
Dada \(f : X \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) uniformemente continua, definimos la sucesión de funciones \(g_n : X \rightarrow \mathbb{R}\) como \(g_n(x) = f(x,1/n).\)

i) Probar que la familia \(\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) es equicontinua y converge uniformemente sobre \(X.\) Hallar su límite.
ii) Dar una condición sobre la sucesión \((a_n)\) para que \(h_n(X) = f(x,a_n)\) resulte
a) Uniformemente continua.
b) Equicontinua.

Ejercicio 5. Sea \(I : C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{[0,1]}\) el operador lineal definido por
\(I(g)(x) = \int_0^1 K(x,y)g(y) dy\) donde \(K : [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) es una función continua que verifica que \(|K(x,y)| < 1\) para todo \(x,y \in [0,1].\)

i) Verificar que \(I(C[0,1]) \subset C[0,1].\)
ii) Probar que existe una única \(f \in C[0,1]\) tal que \(f(x) = \int_0^1 K(x,y)f(y) dy\) para todo \(x \in [0,1].\)

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$$Justifique\ todas\ sus\ respuestas.$$

Algo para el

Supongo que existe \(x_0 \in B^{\circ}\) entonces existe \(B(x_0,r) \subset B\)
Como \(A\) es homeomorfo a \(B\) existe \(f : A \rightarrow B\) continua, biyectiva y con inversa continua.
\(B(x_0,r)\) es un abierto conexo de \(\mathbb{R}^2\) entonces \(f^{-1}(B(x_0,r))\) es un abierto conexo de \(\mathbb{R}.\) Por lo tanto \(f^{-1}(B(x_0,r)) = (a,b)\) donde si \(x_0 = f(y)\), \(a<y<b.\)
Luego puedo restringir el dominio de \(f^{-1} : B(x_0,r) - \{x_0\} \rightarrow A - \{x_0\}\)
Pero como \(B(x_0,r) - \{x_0\}\) sigue siendo un conexo de \(\mathbb{R}^2\) entonces \((a,b) - \{y\}\) sería un conexo de \(\mathbb{R}.\) Abs!.
Luego, no existe \(x_0 \in B^{\circ}\)

Supongamos que existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que para todo \(x \in [0,1]\) que cumple \(x + \frac{1}{n} \in [0,1]\), se tiene \(f(x) \neq f(x + \frac{1}{n}).\)
Definimos \(g: [0, \frac{n-1}{n}] \rightarrow \mathbb{R}\), \(g(x)=f(x) -f(x + \frac{1}{n})\).
Por lo que supusimos anteriormente, \(g\) no se anula y es continua. Supongamos sin pérdida de generalidad que \(g > 0 \Rightarrow g(0)=f(0)-f(\frac{1}{n}) >0\),

Pero entonces \(f(0) > f(\frac{1}{n}) > f(\frac{2}{n}) > \ldots > f(1) \Rightarrow f(0) > f(1)\), Absurdo.