Ejercicio 1. Sea \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) decimos que \(f\) es lineal a trozos si para todo \(x \in \mathbb{R}\) existe \(\epsilon > 0\) tal que \(f|_{[x-\epsilon,x]}\) y \(f|_{[x,x+\epsilon]}\) son funciones lineales.
Hallar el cardinal del conjunto \(A =\) \(\{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) : \(f\) es lineal a trozos\(\}.\)
Ejercicio 2. Sea \(g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
Se define \(d : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) como \(d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = |x_1 - x_2| + g(y_1,y_2).\)
i) Probar que \(d\) es una métrica en \(\mathbb{R}^2.\)
ii) Hallar las suceciones convergentes para esta métrica. Decidir si \((\mathbb{R}^2,d)\) es completo.
iii) Si consideramos en \(\mathbb{R}^2\) la métrica \(d_{\infty}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) =\) máx\(\{|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|\}.\) ¿Vale que \(d\) y \(d_{\infty}\) son topológicamente equivalentes?
Ejercicio 3. Sea \((X,d)\) un espacio métrico y sea \(D \subset X\) denso. Supongamos que dada \((x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset X\) existe \(x \in X\) tal que \(\displaystyle\lim_{n \to\infty}{d(x_n,s)} = d(x,s)\) para todo \(s \in D.\)
Probar que \(\displaystyle\lim_{n \to\infty}{x_n} = x.\)
Ejercicio 4. Consideremos el espacio métrico \(l_\infty =\) \(\{(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} / (a_n)_{n \in \mathbb{N}\) es acotada\(\}\) con la distancia \(d((a_n)_n,(b_n)_n) =\) sup \(|a_n - b_n|.\)
Sea \(A = \{(a_n)_n \in l_\infty /\) existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \(a_n = 0\) para todo \(n\geq n_0 \}\) y consideramos el conjunto \(B = A\cap\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}.\)
Ejercicio 5. Sea \((X,d)\) un espacio métrico compacto y consideremos \(C(X,\mathbb{R})\) el espacio de las funciones continuas de \(X\) en \(\mathbb{R}\) con la métrica \(d_\infty(f,g) =\) sup \(|f(x) - g(x)|.\)
Sean \((f_n)_n \subset C(X,\mathbb{R})\) una sucesión de funciones y \(f \in C(X,\mathbb{R})\).
Probar que son equivalentes:
i) \((f_n)_n\) converge a \(f\) en \(C(X,\mathbb{R})\).
ii) Para toda sucesión \((x_n)_n \subset X\) que converge a \(x \in X\) vale que la sucesión \((f_n(x_n))_n\) converge a \(f(x)\).
Me pareció un exámen accesible la verdad. Me quedé con algo de bronca por no haber pensado más el primero que salía al toque pero como un gil entregué 😐
Las sucesiones que convergen son las que a partir de un momento se hacen constantes en su coordenada \(y\), porque sino, la funcion \(g\) hace que la distancia sea al menos 1.
De esta manera se puede pensar que son sucesiones comunes de \(\mathbb{R}\) miradas en una recta que no pasa por el cero, sino que está "corrida".
Para ver que no son topológicamente equivalentes probé que la identidad no era un homoeomorfismo, por el absurdo salió relativamente fácil.
Sea \(\epsilon>0\) existe \(s \in D\) tal que \(d(x,s) < \epsilon/3\) ya que D es denso.
Además, existe \(n_0\) tal que \(|d(x_n,s) - d(x,s)| < \epsilon/3\ \forall n \geq n_0\) porque \(d(x_n,s) \rightarrow d(x,s).\) Esto implica \(d(x_n,s) < d(x,s) + \epsilon/3\ \forall n \geq n_0\)
Por último \(d(x_n,x) \leq d(x_n,s)\ +\ d(x,s) < d(x,s)\ +\ \epsilon/3\ +\ d(x,s) < \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon\ \forall n \geq n_0\)
No se si esta bien, intento de resolución para el
5) (i)\(\Rightarrow\)(ii): quiero ver que \({d(f_n(x_n),f(x))}_{n \to \infty} =0.\)
Sea \(\epsilon > 0\), ahora sabemos que vale \(d(f_n(x_n)),f(x)) \leq d(f_n(x_n),f(x_n)) + d(f(x_n),f(x))\), como \(f\) continua y \({(x_n)}_{n \to \infty} = x\) dado \(\epsilon\) existe un \(N_1 \in \mathbb{N}\) tal que \(d(x_n,x) < \delta \Rightarrow d(f(x_n),f(x)) < \epsilon/2\) si \(n>N_1\).
Además, como \(f_n\) converge puntualmente, existe un \(N_2 \in \mathbb{N}\) tal que si \(n> N_2 \Rightarrow d(f_n(x_n),f(x_n)) < \epsilon/2\). Tomo \(N=max\){\(N_1,N_2\)} entonces tenemos:
(ii)\(\Rightarrow\)(i): Tomo la sucesion \(x_n = x \forall n \in \mathbb{N}\) y analizo la convergencia, como vale para todos luego \((fn)_{n \to \infty} = f\).
Para ver que es continua. Como cada f_n es continua, si \(d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f_n(x),f_n(y)) < \epsilon/3\), entonces
\(d(f(y),f(x)) \leq d(f(y),f_n(y)) + d(f_n(y),f_n(x)) + d(f_n(x),f(x)) < \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon\), si tomo n lo suficientemente grande.
No se si esta bien, intento de resolución para el
5) (i)\(\Rightarrow\)(ii): quiero ver que \({d(f_n(x_n),f(x))}_{n \to \infty} =0.\)
Sea \(\epsilon > 0\), ahora sabemos que vale \(d(f_n(x_n)),f(x)) \leq d(f_n(x_n),f(x_n)) + d(f(x_n),f(x))\), como \(f\) continua y \({(x_n)}_{n \to \infty} = x\) dado \(\epsilon\) existe un \(N_1 \in \mathbb{N}\) tal que \(d(x_n,x) < \delta \Rightarrow d(f(x_n),f(x)) < \epsilon/2\) si \(n>N_1\).
Además, como \(f_n\) converge puntualmente, existe un \(N_2 \in \mathbb{N}\) tal que si \(n> N_2 \Rightarrow d(f_n(x_n),f(x_n)) < \epsilon/2\). Tomo \(N=max\){\(N_1,N_2\)} entonces tenemos:
(ii)\(\Rightarrow\)(i): Tomo la sucesion \(x_n = x \forall n \in \mathbb{N}\) y analizo la convergencia, como vale para todos luego \((fn)_{n \to \infty} = f\).
Para ver que es continua. Como cada f_n es continua, si \(d(x,y) < \delta \Rightarrow d(f_n(x),f_n(y)) < \epsilon/3\), entonces
\(d(f(y),f(x)) \leq d(f(y),f_n(y)) + d(f_n(y),f_n(x)) + d(f_n(x),f(x)) < \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon\), si tomo n lo suficientemente grande.
Alguna pista para el 1?
En el 5 tené en cuenta que se refiere a convergencia uniforme de las \(f_n\) a la \(f\), asique vas a tener que corregir tu demostración porque usaste convergencia puntual.
Para el 1 fijate lo que pasa con la continuidad de esas funciones (hacé un dibujito)