Dice así:
$$\textrm{Decimos que $\lambda \in \mathbb{R}$ es un autovalor del operador $\triangle$ en $\Omega$ si existe una funcion $f\in {C}^{2}(\Omega)\cap{C}^{1}(\overline{\Omega})$ con $f=0$ en $\partial \Omega$ tal que $\triangle f=\lambda f$ en $\Omega$.}$$
$$\textrm{En ese caso decimos que $f$ es una autofuncion asociada a $\Omega$.}$$
$$\textrm{Usando las identidades de Green, mostrar que si $\lambda \neq \mu$ son autovalores de $\triangle$ en $\Omega$ y $f$ y $g$ son autofunciones asociadas a $\lambda$ y $\mu$ respectivamente, se tiene:}$$
$$\int \int \int_{\Omega}(fg)dV=0$$
Uso la identidad de Green que dice:
$$\int_{\partial \Omega}(f\nabla g - g\nabla f)dS=\int_{\Omega}(f\triangle g -g\triangle f)dV$$
Como g y f son autofunciones, son nulas en \(\partial \Omega\), así que el lado izquierdo de la igualdad se anula. Uso que \(\triangle g=\mu g\) y que \(\triangle f=\lambda f\) y queda:
\(0=\int_{\Omega}(f \mu g}-g\lambda f)dV=\int_{\Omega}(\mu -\lambda)(fg)dV\).
Como \(\mu\) y \(\lambda\) son números reales, queda:
\((\mu-\lambda)\int_{\Omega}(fg)dV=0\), y como \(\mu \neq \lambda\) entonces \(\int_{\Omega}(fg)dV=0\)
Esta bien lo que hice??? 🙂
gracias!
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
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