Bueno gente dentro de lo que deduje del enunciado (que seguro está mal) llegué a esta matriz, ahora bien el ejercicio no me interesa demasiado sino como encontrar la solución de este sistema de ecuaciones acopladas, me conformo con que la puedan resolver y si conocen un método general bienvenido sea:
Sísí, lo miré y está buenísimo pero ese sirve para A a coeficientes constantes creo, pero por el teorema de existencia y unicidad existe una única solución para este. la pregunta es cuál?.
A me olvidaba :
La ultima cuenta es haciendo diferencia de cuadrados.
Ahi tenes los 2 autovalores (llamalos \(\lambda_1, \ \lambda_2\)), es claro que los autovectores correspondientes son (1,-1) y (1,1) resp.
Luego si llamamos
Resolvemos el sistema con D: \(y_i'(t)= \lambda_i(t)y_i(t)\) (con i=1,2)
Este lo sabes resolver, \(y_i(t)=e^{y_i(0) \int_0^t \lambda_i(s)ds}\)
Pero vos querias \(x'(t)=A(t)x(t)\), no importa lo que haces es:
\(C^{-1}A =DC^{-1}\), multiplicando por \(C^{-1}\) lo que obtenes es:
\((C^{-1}x)'=D(C^{-1}x)\) (recordando que derivar es lineal y C es constante)
Tomas \(x=C y\) y esa te sirve, porque justamente habiamos construido a y para que pase eso.
Todavia falta arreglar lo del dato inicial y hacer la cuenta de la integral, pero la forma es esta.
Si queres la solucion, la pones en la compu y te da:
\(x_1=(-200000000 - 4000000 t - 60000 t^2 - 400 t^3 - t^4)/(2 (-100 + t) (100 + t)^2)\)