Sea S la superficie dada por el gráfico de la función \(f(x,y)=\frac{1}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}\) con \($(x,y) \in D$\), donde D es el disco de radio 1.
\(F(x,y,z)=(\frac{zx}{{x}^{2}+{y}^{2}},\frac{zy}{{x}^{2}+{y}^{2}},0)\). Hallar:
$$\int \int_{S} FdS$$
Y lo que más me molesta es que abajo dice: piense antes de actuar.
aaagh. no sé qué hacer, la integral sola es imposible, la divergencia del campo es 0, pero como no está definido en toda la recta (0,0,z), no se puede usar ningún teorema. Así que no tengo ni idea como hacerlo 🙂
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Si calculas la normal a la superficie, me parece que es (0,0,*) y entonces es perpendicular al campo, entonces la integral deberia dar 0.
Corregime si me equivoco.
Otra sugerencia:
Defini \(D^+=\{(x,y):x>0 \wedge x^2+y^2=1\}\) y \(D^-\) de forma analoga.
Y \(S^\)+ y \(S-\) los graficos de f restringida a \(D^+\) y a \(D^-\)
Entonces:
$$\int_S F= \int_{S^+}F+\int_{S^-}F$$
Considera ahora la funcion \(\phi:D^+\rightarrow D^-\) definida por \(\phi(x,y)=(-x,-y)\)
Entonces \(F\circ \phi=-F\), ahora usas cambio de variables y las 2 integrales se cancelan.
Te dejo los detalles, cualquier cosa avisa de nuevo