$$\sigma (t)=(sen t, cos t, sen 2t), 0\leq t \leq 2\pi$$
Sugerencia: Observar que C se encuentra en la superficie \(z=2xy\)
Tengo que buscar una parametrización tal que \(T(D)=S\) donde D es mi dominio.
Asumo que \(\sigma (t)\) es el borde de mi superficie.
Entonces parametrizo así: \(T(x,y)=(x,y,2xy)\) Luego, \(T(\partial D)=\partial S\)
Para aplicar Stokes debería encontrar el dominio, entonces digo:
\(\sigma (t)= T\circ \alpha (t)\) donde \(\alpha (t)\) es la parametrización de \(\partial D\).
Si \(\alpha (t)=(sent, cost) \rightarrow T\circ \alpha (t)=(sent,cost,sen2t)\) como yo quería.
Entonces, el borde de mi dominio es una circunferencia de radio 1. Por lo tanto, mi dominio es el disco de radio 1: \(D: \delta (t)=(r.sent, r.cost)\) con \(0\leq r \leq 1 y 0\leq t \leq 2\pi\)
Esto es cualquier cosa, o tiene algo de sentido? Ayuda!
Yo lo pensé parecido pero tengo problemas con la orientación de los vectores. ¿Alguien me puede aclarar esto?
Quiero aplicar el teorema de Stokes, así que primero busco el rotor de mi campo. \(rotF=(-3z,-6{x}^{2},1)\)Elijo la parametrización \(T(u,v)=(u,v,2uv)\)con u y v variando ambos entre -1 y 1 (Igual a la de Diana) Luego Calculo el producto vectorial \({T}_{u}x{T}_{v}\)para armar el diferencial de superficie. \({T}_{u}x{T}_{v}=(-2v,-2u,1)\). Luego de todo esto la integral me queda así:
\(\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}(12u{v}^{2}+12{u}^{3}+1)dudv=4\)
Mi duda viene por este lado:
Yo sé que tengo que, para aplicar el teorema, elegir un vector que sea saliente a la superficie donde se apoya la curva que, en este caso, se recorre en sentido antihorario. Ahora bien... ¿cómo puedo saber si este vector es saliente o no SIN NECESIDAD de graficar la curva y la superficie donde está contenida?
Otra cosa que me puse a pensar, suponiendo que el vector elegido es interior a la superficie, pero yo quiero usar uno exterior, ¿Basta con elegir el opuesto? O sea... siempre el vector normal exterior a la superficie y el interior van a ser opuestos?
Y ya que estamos... El vector normal elegido no tiene por que ser unitario, no?
Creo que es medio delicado el tema de cual es la normal exterior, si seguis matematica en geometria diferencial se pasan un buen rato hablando de esas cosas. En analisis 2 uno puede hacer el dibujito y convencerse.
Si n es normal exterior entonces -n es interior y viceversa.
Es màs fàcil tomar la que te propuse yo, con las variables u y v entre -1 y 1 que te describen tu dominio... Me parece que tu complicación viene cuando componés.
Ale tu parametrización creo que está mal, porque con las primeras coordenadas moviéndolas entre -1 y 1 hacés un cuadrado, y con x e y tenes que buscar una circunferencia. O sea estás tomando miles de puntos de más.
hola a todos. Soy juliàn y me acabo de inscribir.
Les tiro algunas sugerencias para este tipo de problemas:
Siempre conviene hacer un dibujo.
Conviene calcular la normal y el rotor sin hacer polares.
En este caso, pueden decir que parametrizan la superficie como (x,y,2xy) donde el par (x,y) se mueve en el cìrculo.
Y es fàcil calcular todo. Las derivadas son (1,0,2y), (0,1,2x)
la normal es (-2y,-2x,1) el rotor es
(-3z,-6x^2,-1) que compuesto con la parametrizaziòn es
(-6xy,-6x^2,-1)
los multiplican y da algo como 18xy^2+12 x^3 - 1 y ahora sì
hacen cambio de variables.
Para ver lo de la normal hay que fijarse que (-2y,-2x,1) apunta para arriba.
Las mismas sugerencias valen para aquel ejercicio de la "bòveda de viviani" (no sè si lo vieron, pero es un clàsico de clàsicos)
Bueno. Espero que les sirva.