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Tema

[a resolver] ejercicio 4, practica 3

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#1 Ivana

Hola, que tal? Estuve intentando hacer el ejercicio 4 de la practica 3 pero no se bien como delimitar los limites de integracion. El problema pide
de calcualr el area de la region encerrada por el eje x y el arco del cicloide (hay que hacerlo usando el teorema de green):

$$x= t - sin t$$
$$y= 1 - cos t$$

alguna ayudita...? 🙂

Gracias y saludos a todos!

#2 Quimey

El eje x es donde y vale 0 entonces lo primero que haces es encontrar los t donde y(t)=0:

$$0=y(t)=1-cos(t) \Rightarrow 1=cos(t) \Rightarrow t=0,2 \pi$$
Ahora buscas un campo cuyo rotor sea 1 (para calcular el area) por ejemplo \(F(x,y)=(-\frac{y}{2},\frac{x}{2})\) Esto lo integras en el borde (orientado positivamente). La parametrizacion que te dan esta al reves, lo hacemos así y despues le cambiamos el signo:
$$\int_0^{2\pi}(-\frac{1-cos(t)}{2},\frac{t-sin(t)}{2}).(1-cos(t),sin(t))=\int_0^{2\pi}(-\frac{(1-cos(t))^2}{2}+sin(t)\frac{t-sin(t)}{2})=\frac{1}{2} \int_0^{2\pi}t sin(t) -sin^2(t)-1+2cos(t)-cos^2(t)=\frac{1}{2} \int_0^{2\pi}t sin(t)-2+2cos(t)= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}t sin(t)-2\pi$$
Aca haces partes y listo (te lo dejo...), fijate mis cuentas que las hice en el aire y por ahi estan mal. Falta ahora integrar en la parte de abajo (y=0) pero ahí da 0 porque F(x,0).(1,0) =0. Con esto lo tenes.
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Quimey

#3 Ivana

Mil gracias!