Sea la curva \(z=f(x)\), \(x \in [\alpha,\beta]\) con f y \(\alpha\) positivos, girada al rededor del eje z. Mostrar que el área de la superficie barrida es:
$$A=2\pi \int_{\alpha}^{\beta}x\sqrt{1+(f'(x))^2} dx$$
lo que obtengo de girar una curva al rededor de z, es una circunferencia sobre el eje xy, cuyo radio va variando entre \(\alpha\) y \(\beta\).
Entonces parametrizo así:
$$x=u.cos(v)$$
$$y=u.sen(v)$$
$$z=f(u)$$
con \(\alpha\leq u\leq\beta\) y \(0\leq v\leq2\pi\)
entonces \(T(u,v)=(u.cos(v), u.sen(v), f(u))\)
$${T}_{u}(u.v)=(cos(v), sen(v), f'(u))$$
$${T}_{v}(u.v)=(-u.sen(v),u.cos(v),0)$$
El producto vectorial entre \({T}_{u}\) y \({T}_{v}\) resulta ser:
$${T}_{u}x{T}_{v}=(-f'(u)cos(v).u, -f'(u)sen(v).u, u)$$
y su norma:
$$\|{T}_{u}x{T}_{v}\|=\sqrt{(f'(u))^2cos(v)^2u^2+(f'(u))^2sen(v)^2u^2+u^2}$$
$$=\sqrt{u^2}\sqrt{(f'(u))^2(cos(v)^2+sen(v)^2) + 1}$$
$$=u\sqrt{1+f'(u)^2}$$
finalmente me queda la integral:
\(A=2\pi \int_{\alpha}^{\beta}u\sqrt{1+(f'(u))^2} du\)