[No resuelto] Ejercicio 12, práctica 2

Calcular \({\int}_{S}\textrm{xy dS}\) donde S es el borde del tetraedro con lados \(z=0, y=0, x+z=1\) y \(x=y\)

Mi duda es, cómo consigo una parametrización del tetraedro? o tengo alguna manera de conseguir \(\|N\|\) sin parametrizar?

(tengo un lío con el numero de los ejercicios, para algunos capas este ejercicio es el 11 o 13, por ahí anda...)

Bueno, el ejercicio es muy tedioso(pero no difícil), y requiere para colmo un dibujo. Después veo si puedo subir algo, o si alguien puede, para que se entienda lo que voy a escribir:
Lamentablemente, la parametrización la tenemos que separar en partes. Para ello, recordemos que un tetraedro tiene 4 caras, con lo que buscaremos una parametrización para cada una:
-Piso del tetraedro(plano \(xy\)): está limitado por \(z\eq=0,\;y\eq=0,\;x\eq=y,\;x+z\eq=1\) como planos. Si mirás el dibujo, tenés sobre el plano \(xy\) un triángulo. Luego, una forma de parametrizarlo es \(T(u,v)\eq=(u,v,0)\), para que te quede en el plano \(xy\). Ahora, la \(u\) la movés en \([0,1]\)(es bueno que se vea el dibujo...), pero la coordenada \(v\) está limitada entre el eje \(x\) y la recta \(y\eq=x\). O sea, tenés \(0\leq v\leq u\)
-Pared sobre el plano \(xz\) del tetraedro: la situación es similar, tengo un triángulo sobre el plano \(xz\), delimitado por el eje \(x\) y la recta \(z\eq=1-x\). Luego, la parametrización que querés es \({T}_{1}(u,v)\eq=(u,0,v),\;0\leq u\leq 1,\;0\leq v\leq 1-u\). Ahora tenemos esta cara.
-Cara sobre el plano \(x\eq=y\): el triángulo en este caso está sobre el plano \(x\eq=y\), con lo que adivinarás que \({T}_{2}(u,v)\eq=(u,u,v)\)(estoy sobre la recta \(x\eq=y\) con lo que las coordenadas \(x,y\) deben ser iguales. \(0\leq u\leq 1,\;0\leq v\leq 1-u\)(el segundo intervalo se debe a que el triángulo está definido por el plano \(z\eq=0\) y el plano \(x+z\eq=1\).
-Cara que falta: este triángulo puede parecer más difícil de imaginar, pero lo que tiene es que a cada punto del triángulo sobre el plano \(xy\) le asigna un punto del plano \(y+z\eq=1\)(es el plano que pasa por el \((1,0,0),\;(1,1,0),\;(0,0,1)\)). Luego, tenés \({T}_{3}(u,v)\eq=(u,v,1-v)\), teniendo \(0\leq u\leq 1,\;0\leq v\leq 1-u\)(la \(v\) se mueve de esa manera, para asignar puntos sobre el triángulo de la cara del plano \(xy\). Y ya tenés las parametrizaciones.
Ahora, hay que calcular las correspondientes normales. No es muy difícil, dadas las parametrizaciones. Verificalo, pero no es muy difícil de ver que las primeras dos normales tienen norma \(1\), la tercera es \(||(1,1,0)\times (0,0,1)||\eq=||(1,-1,0)||\eq=\sqrt{2}\), y la cuarta \(||(1,0,-1)\times (0,1,0)||\eq=||(1,0,1)||\eq=\sqrt{2}\). Luego, separás en las partes correspondientes, e integrás según la parametrización que corresponda(las integrales que quedan son fáciles; usás la linealidad de la integral para separar en 4 integrales).
Espero haber ayudado, si bien calculo que ya la duda desapareció, después de la práctica. Después veo si subo un gráfico o alguien puede hacerlo. Saludos.

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Justo lo dieron hoy en la práctica! pero gracias por responder =)

acá encontre un dibujito en internet del tetraedro... sólo hay que imaginarse los ejes x,y,z, y los vertices en el (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0):

(un poco grande la imágen, perdón)