[A corregir] Ejercicio 6 - Práctica 1

Sea C una curva simple y suave. Sea \(\sigma : [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{3}\) una parametrización regular de C. Sea \([{a}_{1},{b}_{1}]\) un intervalo arbitrario. Consideremos la función \({\sigma}_{1}: [{a}_{1},{b}_{1}]\rightarrow \mathbb{R}^{3}\) definida por:

Probar que \({\sigma}_{1}\) es una parametrización regular de C.

Que \({\sigma}\) sea regular y C una curva simple y suave, quiere decir que seguro \({\sigma}\) va a ser inyectiva en (a,b), clase \({C}^{1}\) y \({\sigma}'(t)\neq(0,0,0) \forall t\), no se si es abierta o cerrada pero seguro cumple con eso.
Si evalúo \({\sigma}_{1}({a}_{1})={\sigma}(a)\) y \({\sigma}_{1}({b}_{1})={\sigma}(b)\) es decir que hace el mismo recorrido que \({\sigma}\).
Sea \(g(s)={a} + {{b-a(s-{a}_{1})}\over{{a}_{1}-{b}_{1}}}\)
\(g: [{a}_{1},{b}_{1}]\rightarrow [a,b]\) resulta ser \({C}^{1}\) y además
\(g'(s)={{b-a}\over{{a}_{1}-{b}_{1}}}\neq0 \forall s\) entonces es biyectiva.
si \({\sigma}_{1}={\sigma}(g(s))=\sigma \left({a} + {{b-a(s-{a}_{1})}\over{{a}_{1}-{b}_{1}}} \right)\)
\({\sigma}_{1}\) es una reparametrización de \({\sigma}\), que continúa siendo simple, suave, \({C}^{1}\) por ser composición de funciones \({C}^{1}\) e inyectiva en \(({a}_{1},{b}_{1})\) por ser \({\sigma}\) inyectiva en (a,b).
Además, \({\sigma}_{1}'(s)= \sigma \left({a} + {{b-a(s-{a}_{1})}\over{{a}_{1}-{b}_{1}}} \right).{{b-a}\over{{a}_{1}-{b}_{1}}}\neq(0,0,0) \forall s\)
Por lo tanto, \({\sigma}_{1}\) es una parametrización regular de C.

Está bien demostrado así?

Un par de obs.

Primero, que la curva sea simple y suave no dice nada acerca de la parametrización. Por ejemplo, el círculo de radio 1 es una curva simple y suave, pero tenés la parametrización \(\sigma :[0, 4 \pi] \to \mathbb R^2, \ \sigma(t) = (\cos(t), \sin(t))\). Lo que te garantiza que \(\sigma\) va a ser inyectiva es que la parametrización es regular, es decir, que la derivada nunca se anula (una función con derivada nunca nula es inyectiva...).

Para ver que el recorrido de \(\sigma_1\) es el mismo que el de \(\sigma\), la justificación correcta es ver que tiene los mismos extremos Y que la imagen es todo C. Después hacés la cuenta de que \(\sigma_1\) es regular, que está perfecta.

Saludos!

No me queda claro lo de una funcion con derivada nunca nula es inyectiva (estamos hablando de una funcion \(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2\))

Quimey escribió:

No me queda claro lo de una funcion con derivada nunca nula es inyectiva (estamos hablando de una funcion \(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2\))

Es cierto, la primera parametrización que di del círculo, por ejemplo 😛. En realidad hay que decir que es inyectiva porque es la composición de dos funciones inyectivas.