Para empezar a incentivar estas secciones aún no empleadas del foro, quería poner parte del ejercicio 10; la parte que me pareció que podía traer más dificultades.
Considerar una partícula que se mueve siguiendo la trayectoria \(\sigma(t)\eq=(t-\sin(t),1-\cos(t))\). Hallar la velocidad, rapidez, y la longitud del arco descripto por la partícula entre los puntos \(\sigma(0),\;\sigma(1)\)
Como dice el problema, esta es una parametrización de la cicloide; el Tromba tiene un ''amigable'' dibujo de la curva, con lo que puede mirarse del libro cómo es la curva en si(no es casual el término ''amigable''...). Puesto que \(\sigma\) es una parametrización \({C}^{1}([0,1])\), podemos calcular como usualmente procedemos. Antes, veamos que \(\sigma '(t)\eq=(1-\cos(t),\sin(t))\). De aquí resultan:
Acá tenemos calculada la velocidad y rapidez en \(t\eq=0,\;t\eq=1\) respectivamente. Pasemos a la parte que puede traer más dificultades:
\(L\eq=\int_{0}^{1}||\sigma '(t)||dt\eq=\int_{0}^{1}\sqrt{2-2\cos(t)}dt\eq=\sqrt{2}\int_{0}^{1}\sqrt{1-\cos(t)}dt\).
¿Cómo seguimos? Recordando que \(1\eq=cos(0)\), tenemos \(1-\cos(t)\eq=\cos(0)-\cos(t)\eq=2{\sin}^{2}(\frac{t}{2})\). Para que esto no parezca un pase mágico, voy a explicar brevemente por qué funciona; si tienen \(\cos(A)-\cos(B)\), sabemos que existen \(x,y\in\mathbb{R}:A\eq=x+y,\;B\eq=x-y\)(es fácil de ver que siempre admite solución este sistema lineal). Luego, tienen \(\cos(A)-\cos(B)\eq=\cos(x+y)-\cos(x-y)\eq=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)-(\cos(x)\cos(-y)-\sin(x)\sin(-y))\). Recordando que el coseno es par y el seno es impar, queda, luego de todas las simplificaciones, \(-2\sin(x)\sin(y)\). Ahora, despejando del sistema lineal, es fácil ver que \(x\eq=\frac{A+B}{2},\;y\eq=\frac{A-B}{2}\). Reemplazando, queda la expresión final \(\cos(A)-\cos(B)\eq=-2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})\). Ahora, en nuestro caso, teníamos \(A\eq=0\), quedando \(-2\sin(\frac{t}{2})\sin(-\frac{t}{2})\eq=2{\sin}^{2} (\frac{t}{2})\)(usé que era impar el seno).
Ahora la integral se redujo a \(L\eq=\sqrt{2}\int_{0}^{1}\sqrt{2{\sin}^{2}(\frac{t}{2})}dt\eq=2\int_{0}^{1}\sin(\frac{t}{2})dt\)(usé que en ese intervalo \(\sin(\frac{t}{2})\geq0\)). Ahora la primitiva sale a ojo; y es \(-2\cos(\frac{t}{2})\), quedando por resolver la cuenta \(2(-2\cos(\frac{t}{2})){{|}^{1}}_{0}\eq=4-\cos(\frac{1}{2})\), que da la longitud de la curva.
Espero haber sido claro. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities