Sea S la porcion del paraboloide \(S=\lbrace(x, y, z): y=4-z^2-y^2\rbrace\) interseccion \(\lbrace(x, y, z): 0\leq y\rbrace\) con vector normal en \((0, 4, 0)\) dado por \((0, -1, 0)\).
Para \(F=(F_1, F_2, F_3)\) un campo tq \(\partial F_3/\partial x=7\) y \(\partial F_1/\partial z=4\)
Calcular
$$\int _S rotF$$
Bien, les cuento lo q pense. Visto q me pide la integral sobre una superficie del rotF puedo utilizar Gauss como simplemente calcularla.(tambien Stokes y parametrizar la curva del disco)(pero no se olviden q el campo no lo conocemos asiq esto ultimo no esta bueno)
Si elijo Gauss primero debo cerrar mi superficie ( es un paraboloide acostado en y q tiene como vertice y=4 y va hasta y=0) con un disco en y = 0.
Luego parametrizo el volumen del paraboloide y calculo lo siguiente:
$$\int\int\int _W Div rot F = 0 = \int\int_S rotF + \int\int_D rot F$$
Bien la integral de la Div da 0 por q la diveregencia del rotor es 0 y S es la sup del paraboloide y D la del disco...a partir de aca es accesible ya q hay q calcular las integrales, parametrizando el disco y dandole atencion a la normal.
no se si alguien lo hizo asi pero da (me parece) \(12\pi\)
Si calculo directamente me queda lo siguiente (y aca quiero q lo tomen con pinzas porq tengo dudas de lo q hice, mas bien teoricas)
\(rotF= (blabla, -3, blabla)\)...puse blabla porq yo se por dato q el vector normal no tiene componentes en X e Y.
Luego calculo \(\int\int_S F \cdot \nu\) donde \(\nu\) es el versor normal y F el campo.
Aca viene mi problema: si hago la integral asi como esta sin multipliccar por la norma de la normal (q es \(\parallel T_u X T_v \parallel\)) es decir multiplico escalarmente mi campo con la normal y calculo la integral parametrizando la superficie, tmb me da \(12\pi\).
Si mulitiplico antes por la norma normalizada ( la norma q habia obtenido era\((2r^2sen(\theta), r^2, -2r^2cos(\theta)\) ), q es \(\sqrt5 r^2\), como resultadola integral me da \(16\sqrt5 \pi\)
El tema es:
Multiplico o no por la norma normalizada??? q la norma q use (el (0 -1 0)) tenga norma 1, dice algo???
bueno, espero sus colaboraciones y perdon por la extension
bueno ya te dije lo que pienso pero te lo digo de nuevo por acá a ve rsi me prestás mas anteción 🙂
por lo que yo había entendido, cuando escribís a tu campo como su proyección normal, estás haciendo una integral de un escalar sobre una superficie, así que tenés que multiplicar después por la norma de la normal de la parametrización de tu superficie. Es decir, sería:
Me parece que tu error està cuando decìs "yo se por dato que el vector normal tiene componentes 0 en X y Z" porque esto es sólo en el punto (0,4,0) Es decir, si pensàs con el gráfico, la normal al paraboloide va a ser perpendicular al plano xz sólo en su vértice. Fijate que sobre otros puntos de la superficie, tiene otra direccion y por lo tanto no es nula en X o en Z.
Así que habrñia que calcular los blabla que pusiste, pero esto no es posible con la información que te da. Luego sólo se podría hacer de la 1ra manera que planteaste, qe a mi tmb me dio 12pi
Hago una observacion: El ejercicio CREO que está mal redactado por dos cosas:
No aclara en ningún momento que F sea de clase C1 con lo cual no se podría aplicar Gauss si no lo fuera...:S
Te dice cuales son las derivadas parciales pero no te dice en qué puntos... uno debiera asumir que es para cualquier punto del espacio... ¿no?
Cuando hacés Gauss, decis que la integral en S es igual a MENOS la integral en D (para adentro).
Así que basta calcular la integral en D para afuera
De ahora en más S no existe.
Hay que calcular la integral en D del campo (blabla, -3, blabla) y la NORMAL es (0,-1,0). Esto es lo mismo que calcular la integral escalar del número 3 en D
y eso da el area de D por 3. o sea, \(12\pi\).
saludos
se que es viejisimo este post pero justamente quiere que uses stokes, primero copiaste mal el enunciado ya que y= 4-y^2-z^2 es un cilindro, el paraboloide es x= 4-y^2-z^2. ¿porque usar stokes? ya que cuando parametrices la curva la componente "y" del circulo es 0 por lo que la componente "y" de la derivada de la parametrizacion tambien es 0 entonces te importa nada no saber F2 y las constantes de integracion que te aparescan de F1 y F3 les pones 0 o lo que quieras y listo.
da 12pi