donde C es la curva intersección de la superficie del cubo \(0\leq x,y,z \leq a\) y el plano \(x+y+z=\frac{3a}{2}\) y especificar cuál es la orientación que debe dársele a C.
Bueno, la curva en cuestión es un polígono que queda de la intersección entre un cubo y un plano (o un cubo y un triángulo, porque es todo en el primer octante). De manera que con Stokes deberíamos calcular la integral del rotor del campo F através de la superficie que tiene como borde a la curva esta. Pero la verdad, después de mucho tiempo, no pudimos encontrar una manera de parametrizar eso, ni tampoco pudo miss lidia. Es decir, la parametrización sería:
$$T(u,v)=(u,v,\frac{3a}{2}-u-v)$$
pero no sé de dónde a dónde deberían mover u y v, porque primero había puesto las condiciones impuestas por el cubo sobre x y sobre y, pero al querer agregar la de z me quedaba una cosa trivial o algo así. No sé. Un chico lo resolvío haciendo un dibujito de la proyección que debería tener la superficie sobre el plano xy, pero la verdad no entendí, y me gustaría poder sacar las condiciones sobre u y v de las cuentas y no de un dibujito, je. Bueno, espero su ayuda 🙂 muchas gracias.
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Creo que la cuestiòn es asì. Como la superficie (un hexàgono) està sobre el plano \(x+y+z=\frac{3a}{2}\), habría que proyectar lo que queda en el piso y de ahí ver cómo varían u y v (que serían como x e y)
A pesar que quieras hacerlo con las cuentas, el dibujo varía mucho. Pero de todos modos, yo intenté esto:
Sacamos la intersección de cada plano del cubo con el plano \(x+y+z=\frac{3a}{2}\), y obtenemos las ecuaciones de los "lados" del hexàgono que son de la forma \(x+y=\frac{a}{2}\) o \(x+y=\frac{3a}{2}\) etc. Son 6. Luego, al hacer la proyección del hexàgono sobre el piso, vemos que dicha proyección es la región dada por: \(\frac{a}{2}\leq\ x+y\leq\frac{3a}{2}, x\leq\ a, y\leq\ a,\) todo en el primer cuadrante. (o sea x e y positivos)
Entonces deberían hacerse dos parametrizaciones por separado:
1ro \(0\leq\ u \leq\frac{a}{2}\) y \(\frac{a}{2}-u\leq\ v \leq\ a\)
2do \(\frac{a}{2}\leq\ u \leq\ a\) y \(0\leq\ v \leq\ \frac{3a}{2}-u\)
No probé hacer el ejercicio a ver si asì da... pero me parece que si.