Primer Parcial Analisis 2- 27/05/2000-Ej. 4

Me parece que no me estoy dando cuenta de algo en este ejercicio, tal vez puedan ayudarme,

Sean \(F(x,y)= (sin(\pi x)-3y+x,e^y-x)\) y C
la curva que une (1,0) con (3,0) como muestra la figura. Calcular la integral de F sobre C.
La figura que no van a ver es :

No voy a resolver el ejercicio totalmente; solo tiro la idea que permite resolver el ejercicio en unos pocos renglones:
Notá que \(F\eq=(\sin(\pi x)-3y+x,{e}^{y}-x)\) se puede escribir como \(F\eq={F}_{1}+{F}_{2}\), donde \({F}_{1}\eq=(\sin(\pi x),{e}^{y}),\;{F}_{2}\eq=(-3y+x,-x)\). Luego, notá que \({F}_{1}\) es un campo conservativo(la cuenta de Green lo muestra...), y particularmente, su potencial es \(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+{e}^{y}\eq=\phi(x,y)\). Luego, \(\int_{\sigma}F\eq=\int_{\sigma}{F}_{1}+{F}_{2}\eq=\int_{\sigma}{F}_{1}+\int_{\sigma}{F}_{2}\). La primera integral se hace sola; como es un campo gradiente, solo depende de los extremos, teniendo solo que hacer \(\phi(3,0)-\phi(1,0)\). La otra integral es la integral de un polinomio, con lo que sale fácil... sumás las dos y listo
Espero haberte ayudado. Usé solo la cuenta de Green para ver que era un campo gradiente(es simplemente conexo, \({F}_{1}\in {C}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\), y todas las demás hipótesis se verifican...). Si usás Green, tenés que tener cuidado con la orientación y con cerrar la curva. Saludos.