Perdòn que lo ponga incompleto pero no lo tengo conmigo, lo hice ayer con una compañera y no tego el enunciado!
El tema es que te dan un campo F (horrible!!) pero tal que el rotor es (2,2,2) creo (o si no, son todas constantes) y te dicen que calcules la integral de F sobre la curva C que viene dada por la intersecciòn de las superficies x+y+z=1 (un plano) con \({y}^{2}-y=x\) y variando entre 0 y 1 (es un cilindro parabòlico, o sea como una paràbola en 3D, con generatrices paralelas al eje z). La orientación de la curva es en sentido tal que empieza a recorrerse en (0,0,1)
Cae de maduro que hay que aplicarle Stokes. El tema es.. como siempre.... ¿Cuàl es la superficie que tengo que elegir?
Si alguien puede contestarme Muchas gracias!!
Perdòn por la desproligidad del post... pero realmente no tengo bien la fecha... si alguien lo tiene por ahí agrèguela ¡Gracias otra vez!
Sea el campo \(F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) \(F=(z+y+e^z,x-z+(x+1)e^z,e^zy(x+1)+y-x)\)
Sea \(\sigma\)una parametrizacion de la curva que es interseccion de las superficies \(\lbrace(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x+y+z=1 \rbrace\) \(\lbrace(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x=y^2-y, 0\leq y \leq1 \rbrace\) orientada de modo tal que empiece en el punto (0,0,1). Calcular \(\int_{\sigma}Fds\)
La superficies que tenes es un plano, y como dijiste un cilindro parabolico. Bueno lo que tenes que hacer para usar stokes es cerrar la curva, asi sumas y restas la integral del campo sobre la recta que une los puntos \((0,0,1)\) y el \((0,1,0).\)Ahora tu superfice va a ser \((u,v,1-u-v)\) con \(0\leq v \leq1\) , \(v^2-v\leq u \leq0\) , es decir, es la porcion del plano en la region encerrada sobre el plano \(xy\) entre la parabola y el eje \(x\), con \(y\) en el intervalo que te dan.
Este sale lo màs bien... pero me generó un par de preguntas, el que quiera aclaràrmelas le agradecerè....
¿Es necesario que la curva sea cerrada para aplicar Stokes?
Por ejemplo, si me piden aplicar Stokes sobre una semicircunferencia en el plano xy, ¿No puedo aplicar Stokes e integrar el rotor sobre, por ej, el plano xy?
En realidad la duda se me genera siempre por lo mismo... Esto de tomar una Superficie y "su borde" nunca me quedò muy claro. Es decir... ¿què es el borde de una superficie? ¿Serìa algo asì como el "contorno" (la frontera) del dominio de la parametrizaciòn que yo elija para la misma?
Pero... si tengo una superficie infinita, como el plano xy cuya parametrizaciòn puede ser T(u,v)=(u,v,0) esa superficie no tiene "borde"?
O peor aùn ... Supongamos que tengo la siguiente parametrización T(u,v)=(tgu,v,0) con u variando entre -pi/2 y pi/2 y v entre digamos -1 y 1. Eso es una franja en el plano xy. ¿Tiene o no tiene borde?
Bueno no sè... no me queda claro esto del borde. Sumado a que a veces no se puede ver bien clarito la orientación del vercto normal a una superficie que no se puede dibujar. Por lo que me respondiò Quimey en alguna oportunidad... que esto lo ìbamos a ver con màs detalle en Geometrìa diferencial, parece como que estos conceptos no los podemos manejar del todo bien con lo que sabemos.
Fijate que si te paras en una superficie y miras un cachito alrededor se parece mucho a \(\mathbb{R}^2\), por ejemplo nosotros en la tierra que es una esfera nos da la impresion que estamos en algo plano, solo cuando vemos cosas lejos se nota la curvatura. Pero hay superficies que tienen puntos que no se parecen a \(\mathbb{R}^2\). Por ejemplo imaginate un cuadrado con su borde, si tomas un punto del interior del cuadrado no lo podes distinguir de \(\mathbb{R}^2\), pero si te paras en el borde para un lado ves algo que parece \(\mathbb{R}^2\) pero para el otro no ves nada. Estos puntos son el borde (despues tendras mas teoria como para definirlo posta). Pero lo que es importante es que es distinto este sentido que el de frontera de analisis 1 o de calculo avanzado.
Por ejemplo una esfera en \(\mathbb{R}^3\) es su propia frontera(en el sentido topologico) pero como superficie no tiene borde
Ya que sacaste el tema de la esfera... hoy a la mañana en el trabajo me puse a pensar còmo aplicarìa el T de stokes a una esfera. Y la cuestiòn es que si, por ej, elijo la circunferencia del plano del piso, serìa lo mismo calcular el flujo sobre la esfera completa que sobre la semiesfera.
¿O en este caso habr´ñia que multiplicar por dos el flujo de la semiesfera?
Para nada confundìs! Al contrario. La verdad que te estoy re agradecido por responder todas las consultas!
Lo que yo decìa era lo siguiente: Si a uno le dicen "Calcular la circulación del campo blablabla sobre la curva : circunferencia de radio R en el plano xy" Y resulta que es un campo horrendo, pero su rotor es divino (o sea... hay que aplicar el teorema del rotor)
entonces, ¿QUè superficie elijo?
Deberìa ser una tal que su borde sea la circunferencia. Y ahì es cuando dudo. Porque... podrìa elegir unas cuantas!
Por ejemplo el mismo plano xy linitado por la circunferencia, o una semiesfera. Y àhì es que me vino la duda. SI tomo la semiefera y la esfera, ¿da lo mismo?
Esa es la gracia del teorema de Stokes; podés elegir cualquier superficie que tenga tal curva frontera, para la que puedas aplicar el teorema de Stokes, claro está...
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
La esfera no te sirve porque no tiene borde, Si te sirven la semiesfera o el cacho del plano xy, pero la mejor eleccion depende del ejercicio. Por ejemplo:
Si tu funcion tiene muchas cosas feas que dependen de z tomas el plano xy donde z=0 y te ahorras muchos problemas
En muchos casos las funciones que aparecen solo dependen de la distancia al origen (e.g. \(e^{-(x^2+y^2)}\)). En estos casos podes elegir la esfera porque tu funcion es constante ahi.
Por supuesto que esto depende mucho cada problema particular y se pueden dar combinaciones de las dos situaciones. Pero creo que esto te sirve bastante para decidir