[A resolver] 1º parcial 1º cuatrimestre 2010

aca les dejo el parcial que tomaron

\(1.\) sea \(C\) la imagen de la parametrizacion \(\gamma : [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^2\) definida por \(\gamma (t) = (t^2, \sqrt{1-t^4})\).
\(a)\) ¿es \(\gamma\) una parametrizacion ragular de \(C\)? ¿por que? si la respuesta es no, mostrar una parametrizacion regular de la curva.
\(b)\) calcular la longitud de la curva \(C\)

\(2.\) calcular el area de la superficie \(S\) definida como: \(S= \lbrace(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 =4; (x+1)^2 + y^2 \geq 1; (x-1)^2 + y^2 \geq 1\rbrace\).

\(3.\) sea \(S\) el trozo del cono \(x^2 = y^2 + z^2\) interior al cilindro \(x^2 + y^2 = 1\) y situado en el primer octante.
\(a)\) calcular el campo \(\eta (x,y,z)\) normal unitario a \(S\) que en cada punto \((x,y,z) \in S\) apunta hacia adentro del cono.
\(b)\) encontrar una ecuacion para el pano tangente a \(S\) en el punto \(p= ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{2 \sqrt{2}}\))
\(c)\) calcular \(\int \int {}_{S} F\) · \(dS\) con \(F (x,y,z)= (0,-z,y)\) y la orientacion \(\eta\) dada en el punto \(a)\)
aclaracion: aca estan pidiendo calcular el flujo a través de la superficie \(S\) segun el campo \(F\) es decir \(\int \int {}_{S} F\) · \(dS=\) \(\int \int {}_{S} < F , \eta> dS\)

\(4.\) calcular la integral \(\int {}_{C} F\) · \(ds\) con \(F(x,y)= ({e}^{x+y} \sin (x) + {e}^{x+y} \cos (x) - y, {e}^{x+y} \sin (x) + x)\) y \(C=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2=1 \rbrace\) recorrida en sentido antihorario.
misma aclaracion que en el ejercicio anterior aca estan pidiendo una integral curvilinea por lo que \(\int {}_{C} F\) · \(ds=\) \(\int {}_{C} <F, \tau>\) \(ds\) con \(\tau (x,y)\) campo de versores tangentes a la curva \(C\)

Editado 2 veces.

bueno dejo algunos tips para el que quiera hacer los ejercicios.
1)bueno para la primera parte lo mejor es probar que no es inyectiva y eso basta para decir que no es regular. como en el punto b) piden la longitud de la curva la mejor parametrizacion regular es con polares.
2)este problema hay que mirarlo fijo y con cariño para darse cuenta que esta pidiendo el area de una esfera restandole el area de dos bovedas de viviani. calcular el area de la boveda de viviani es un ejercicio de la practica 2. lo mas recomendable es calcular una tapa de la boveda y restarle al area de la esfera el area de las cuatro tapas. el area de la esfera es facil de calcular. para calcular el area de una tapa hay que tener en cuenta que vive dentro de la esfera entonces lo mejor es parametrizar considerandola el grafico de una funcion y para resolver la integral usar polares con el radio pinchado en el origen. luego darse cuenta que de las ecuaciones se desprende que \(0 \leq r \leq 2\cos (\theta)\) y \(-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)
3)para este es altamente recomendable que NO INTENTEN PARAMETRIZAR LA SUPERFICIE, porque se le agrega dificultad de forma exponecial al ejercicio. lo que hay que hacer es considerar la superficie como una superficie de nivel. luego el gradiente de dicha funcion es el campo buscado. para el punto b usar el campo del a como la normal del plano tangente. y para el punto c darse cuenta que \(< F , \eta> = 0\) \(\forall (x,y,z) \in S\)
4)usar GREEN!