Por la condición del problema \(x+y=x^2+y^2\)
\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}\) Como bien dijiste
Ahora usas polares y la parametrización de \(C\) va a ser:
\(\sigma(t)=(\frac{cos(t)}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2},\frac{sin(t)}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2},\frac{cos(t)+sin(t)}{\sqrt{2}}+1\) (Fijate que \(z=x+y\) ) (\(0 \le t \le 2\pi)\)
Ahora calculemos
Calculamos su norma y nos queda:
\(\sqrt{ (\frac{-sin(t)}{\sqrt{2}})^2+ (\frac{cos(t)}{\sqrt{2}})^2+ (\frac{cos(t)-sin(t)}{\sqrt{2}})^2}= \sqrt{1-sin(t)cos(t)}\) (es fácil ver que no se anula)
Entonces para calcular la integral, evaluamos en la parametrización y multiplicamos por \(\sqrt{1-sin(t)cos(t)}\)
Y nos queda
Alguien me ayuda a ver en que consitió hacer polares para este ejercicio, estube revisando la carpeta de mate 1 porque seguro mi memoria estaba batante borrosa y era por eso pero igual no llegué a reconocer los pasos de este caso en particular ¿al ser en R^3 no serian cilindricas? ¿no hay que multiplicar por el Jacobiano?
claro, la función que antes cumplía el jacobiano (de "cambiar el lugar donde estás integrando"), acá lo cumple la derivada de la parametrización (o al menos de esa manera yo lo entendía, no sé si te servirá :p)
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