$$$Hallar las soluciones de:$$
$$y' = \frac{x^2 + y^2}{xy}$$
\($Se me ocurre que $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ es una ecuaci\'on homogenea de grado 0.\)
$$F(x,y)=\frac{x^2 + y^2}{xy}= F(tx,ty)=\frac{(tx)^2 + (ty)^2}{txty}=\frac{t^2(x^2 + y^2)}{t^2xy}$$
$$$Ahora, como falt\'e a casi todas las clases, se me ocurri\'o integrar de ambos lados, entonces.$$
$$\int y' dy=\int \frac{x^2 + y^2}{xy}dy$$
$$y = \int \frac{x^2 + y^2}{xy}dy$$
$$$Y hago la sustituci\'on que dice en mil librito de ecuaciones diferenciales.$$
$$y = ux$$
$$dy= du.x + dx.u$$
$$y = \int \frac{x^2 + (ux)^2}{x(ux)}(du.x + dx.u)=\int \frac{1 + u^2}{u}(du.x + dx.u)$$
$$$Ya se convirti\'o en turbio el ejercicio... Pero lo sigo$$
$$\int \frac{1 + u^2}{u}(du.x + dx.u)= x\int \frac{1 + u^2}{u}du + \int \frac{1 + u^2}{u}.u.dx= x\int \frac{1 + u^2}{u}du + \int 1 + u^2 dx$$
etc.... ah\'i las integrales salen...
Igual me parece que está todo mal... como se hacía esto?
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