Tema
hallar el volumen encerrado por la region \(D=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 / z=2{x}^{2}+{y}^{2} ; z+{y}^{2}=8 \}\)
ayuda, como queda la integral?
(para los aquellos que se ilusionaron pensando que yo posteo ejercicios de matematica, solo estoy tratando de ayudar a una amiga)
quieres que me ponga falda y baile hula hula??
No puedo creer que vaya a contestar un ejercicio de análisis 2...
Notar que \(z = 2x^2 + y^2\) define un paraboloide de revolución que se hace más ancho mientras mayor es \(z\), mientras que \(z = 8 - y^2\) es un "paraboloide de traslación" (?), que se va cerrando a medida que \(z\) se hace grande. Eventualmente, si \(z > 8\), no hay puntos que cumplan esto. Sugerencia: fijen \(x = 0\) y vean qué les da, para hacerse una idea.
Tenemos entonces que el techo está dado por \(z = 8 - y^2\), y el piso por \(z = 2x^2 + y^2\). La superficie de integración se encuentra calculando la intersección deambas superficies, es decir, mirando los puntos de la forma \(2x^2 + y^2 = 8 - y^2\), o lo que es lo mismo, \(x^2 y ^2 = 4\). Si llamamos \(D\) a esta región de integración, lo que queda es
\(\int \int_D 8 - y^2 - (2x^2 + y^2) dA\)
Diviértanse.
Perdón por preguntar estas boludeces, pero estoy mareada con analisis. Yo me enrrosqué usando cambio de variables. Lo pasé a cilíndricas, ahora veo que era ridículo... no salía :s Vos usarias algún cambio de este tipo?? cuál??
Muchas gracias por responder, me ayudó un montón.
La amiga de kari
A partir de ahí podés hacer un cambio a rectangulares. Fijate que tu base es precisamente un círculo, y piso y techo están en términos de \(z\).
Yossarian escribió:
A partir de ahí podés hacer un cambio a rectangulares..
Una pregunta, ¿no sería a esféricas?
Y otra cosita, acá en vez de \(x^2 y ^2 = 4\) no sería \({x}^{2}+{y}^{2} = 4\)