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[No Resuelto] 18/07/08 - Ej. 4

4 respuestas 6639 visitas 2009-03-02

#1 Mati 2009-03-02 21:44

Hallar todas las soluciones f de la ecuación integral

f(x) + \int_{0}^{x}(x-y) f(y) dy = cos x

He probado miles de cosas y no me sale, los únicos datos que realmente tengo son que \(f(0)=1\) y que una ecuación diferencial de la forma \(x'(t)=f(t,x(t))\) se puede pasar a la integral \(x(t)=x(to)+\int_{to}^{t}f(s,x(s))) ds\).

(Ni aclaro que mañana rindo)

#2 Quimey 2009-03-02 23:29

Faltan los detalles pero la idea ppal está:
Lo primero que haces es derivar la ecuacion para obtener una ec. dif.:

f'+ \int_0^xf(y) dy=-sen(x)

Y volves a derivar:

$$f'' + f(x) =-cos(x)$$

Esta ecuacion la sabes resolver y listo.

Firma

Quimey

#3 Mati 2009-03-02 23:55

No entiendo cómo pasás que la derivada de \(\int_0^x(x-y)f(y) dy\) es

Quimey escribió:

\(\int_0^xf(y) dy\)

Si entiendo eso me quedo re satisfecho.

#4 Quimey 2009-03-03 00:01

Es un truquito de analisis 1:
Llamá

g(x,z)=\int_0^x(z-y)f(y)dy

Entonces está claro que:

\partial_x(g)=(z-x)f(x)

(por el teo fundamental del calculo) y que

\partial_z(g)=\int_0^x f(y) dy

(derivando adentro de la integral, esto vale creelo. Se justifica usando cosas de convergencia uniforme) Si llamas \(h(x)=(x,x)\) la cosa que vos queres derivar es \(g\circ h\) usas la regla de la cadena y sale.

#5 Mati 2009-03-03 00:27

Ay muchas gracias! Entendí! (si tenés ganas de pasarte por los temas "final 30/12/08" y "27/12/05 duda stokes" me harías un favor, jaja)
Gracias!!!