\(\textrm{ Sean $F: \mathbb{R}^3 \backslash 0 \rightarrow \mathbb{R}^3$ de clase $C^1$. Probar que si rot(F) = 0, entonces la integral }\)\(\textrm{ \int $F \cdot $ds = 0 }\) para toda curva cerrada simple C, ¿Qué sucede si \(\textrm{$F: \mathbb{R}^2 \backslash 0 \rightarrow \mathbb{R}^2$? }\)
(Lo que me costó escribir eso y ni siquiera lo hice bien!)
Mi duda es: yo sé (creo) que Stokes vale si F es C1 salvo finitos puntos, y para Green tiene que ser C1 en todo punto de D... entonces, ¿cómo demuestro lo que me piden? ¿Cómo se expresa realmente? ¿Estoy errado en lo que dije de Stokes y Green o es así? ¿Cuándo no valen realmente alguno de estos dos teoremas?
matimati
yo creo que la cosa está en que si te falta un punto en \({R}^{3}\), de todos modos podes encontrar una superficie que tenga por borde a C (para cualquier C) y aplicar Stokes, en cambio si le falta un punto a \({R}^{2}\) tenes un agujero, van a existir curvas cerradas que encierren superficies que contengan a ese agujero y no vas a poder usar Green.
Otra forma de verlo sería que en el espacio, aunque un punto no pertenezca al dominio de la función, el dominio sigue siendo simplemente conexo, así que podes usar el teorema de los campos conservativos (esa parte). En cambio en el plano si no tenes un punto tenes un agujero así que no es simplemente conexo, y no podes aplicar el teorema.
te aclaré algo o te compliqué más? era eso lo que preguntabas o mandé cualquiera? bueno mua
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Bueno, sí, eso creo que lo sabía... por lo menos en el parcial lo expliqué bien y eso. Lo que no sé es precisamente cómo se responde a una pregunta así en un final... si tengo que profundizar o demostrar algo más que decir "no se cumple porque toda región en el plano tendría al agujero dentro". Se entiende lo que no entiendo? 😛
Yo, formalmente, lo haría con campos conservativos y no con Stokes, y diría: el dominio en el primer caso es simplemente conexo, así que puedo aplicar el teorema. En el segundo caso no lo es, así que no se puede (y seguro hay algún contraejemplo que demuestra que eso no se cumple, de hecho hay un ejercicio de la guía que lo es, si mal no estoy)
beuno, eso no es muy formalmente, pero no creo que pretendan ed nosotros que sepamos "formalmente" decidir si algo es simplemente conexo... ellos dieron la noción intuitiva nomás.
Edit: igual la otra forma también me parece bastante seria... decir que en el espacio podés encontrar una superficie que tenga por borde cualquier curva cerrada y no contenga al 0, y en el plano no (eso se puede mostrar porque en el plano hay solo una superficie contenida por cada curva, así que basta mostrar una curva que contenga al 0 y listo). Yo creo que no tenemos elementos más formales que estos para hacer ese punto, pero bueno, los demás dirán :p
Las justificaciones para el espacio estan bien las 2, el problema es en el plano. Que no se cumplan las hipotesis del teorema de los cambos conservativos (o que haya curvas que no son bordes de superficies) no implica a priori que haya funciones que no integren 0. Lo mas comodo es exhibir un contraejemplo, que es el mismo que se usa siempre.
Si no lo conocen pidanlo y lo busco, pero es estandar.
Edit: me surgió otra duda... Si la curva cerrada tuviera como punto al cero, cómo se entiende la integral de esa curva sobre F si en un punto de la curva no está definida la función?? Porque el problema dice "para TODA curva cerrada simple..."
Las justificaciones para el espacio estan bien las 2, el problema es en el plano. Que no se cumplan las hipotesis del teorema de los cambos conservativos (o que haya curvas que no son bordes de superficies) no implica a priori que haya funciones que no integren 0. Lo mas comodo es exhibir un contraejemplo, que es el mismo que se usa siempre.
Si no lo conocen pidanlo y lo busco, pero es estandar.
estem... 🙂 yo lo quiero, si no es mucha molestia, jeje.
sé que en alguna guía o parcial viejo había algo así pero no lo encontré, y no estoy segura
El campo \(F(x,y)\eq=(-\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}},\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}})\). Este campo satisface \(rot(F)\eq=0\) pero, si tomás la circunferencia unitaria como \(C\), curva cerrada simple, parametrizada por \(\sigma:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^{2},\;\sigma(t)\eq=(\cos(t),\sin(t))\):
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Una forma facil de acordarselo es pensar \(\mathbb{C}=\mathbb{R}^2\), llamar \(z=x+iy\) y en este caso el campo es \(\frac{1}{z}\)
Observacion volada:
Hay un teorema que dice: si yo tengo una curva c (que no pasa por 0), entonces la cantidad de vueltas que esta curva le da al 0 es la integral en dicha curva del campo antes mencionado, dividido \(2\pi i\).