$$\textrm{Sea $F:{\mathbb{R}}^{3}\rightarrow{\mathbb{R}}^{3}$,$F\in{C}^{1}({\mathbb{R}}^{3})$ y $div(F)=0$, entonces existe $G\in{C}^{1}({\mathbb{R}}^{3})$ tal que $rotG=F$.}$$
$$\textrm{Sugerencia: El campo $G=({G}_{1},{G}_{2},{G}_{3})$ puede tomarse con ${G}_{3}=0$}$$
Asumo que la consigna es "probar que...", porque no lo dice en ningún lado. Ahora, yo tengo una pregunta: por qué está mal resolverlo como hacía de nápoli, diciendo "defino este vector, el nabla de Hamilton, y lo trato como a un vector cualquiera, y por las propiedades del producto escalar y vectorial..." blablabla (no sé ocmo poner en latex el cosito del nabla). Así, jugando con los vectorcitos, sale de lo más bien, pero la sugerencia me genera la leve sospecha de que no es esa la manera oficial de hacerlo. Y, si no lo es, no tengo idea, así que agradezco ideas 🙂
gracias y besos!
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
En la práctica aparecia esto, escribí el rotor de G y despeja, terminas llegando a unas integrales
Aparece aquí: final 18 julio 08 ej2
y las "formulitas" son estas:
graacias, igual no loe ntiendo del todo, pero sino despues te pregunto..
igual sigo sin convencerme de por que no vale usar vectorcitos, si alguien me quiere explicar.. 🙂?
Si encontrás un campo G que cumpla lo pedido, no importa mucho como lo encontraste (al menos que hayas hecho algo que esta mal) siempre hay varios caminos. La verdad es que no tengo mucha idea de lo que hiciste asi que no te puedo decir más. Sobre la sugerencia, es solo una sugerencia.
\(div(F)=\nabla\cdot F=0\implies\nabla\perp F\) (o alguno de los dos es el vector nulo, que no es el caso).
Entonces F es perpendicular a un plano que contiene a \(\nabla\), y en ese plano va a haber un vector G que cumpla que \(\nabla\)xG=F (la condición dirección la tiene cualquiera, alguno va a cumplir el módulo).
O sea, yo lo hago como si F, G y \(\nabla\) fueran vectores cualesquiera \(u,v,w\) de algún espacio vectorial... esto noe s así? De Nápoli hacía asi las demostraciones en clase... pero sin dar tantas vueltyas... bueno, no sé