a)Sean \(f\) y\(g \in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})\). Probar la identidad de Green
$$\int_{\partial \Omega}f\bigtriangledown g. n dS=\int_{\Omega}(f\triangle g + \bigtriangledown f . \bigtriangledown g) dxdydz$$
\(n\)es la normal exterior al dominio \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^3\)
b)Sea\(f\in C^1(B)\) donde \(B\) es una bola de \(\mathbb{R}^3.\) Deducir que si \(\bigtriangledown f=0\) en \(B\)se sigue que \(f\) es constante en \(B\).
c) Sea \(B\) es una bola de \(\mathbb{R}^3.\) Ver que no puede haber una funcion \(f\not=0\), \(f \in C^2(B)\cap C^1(\overline{B})\) que satisfaga \(\triangle f =0\) en \(B\), \(f=0\) en \(\partial B\)
a) Sea \(F=(F_1, F_2) C^1. F:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\)
Probar que \(\exists \varphi :\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} de clase C^2 / \bigtriangledown \varphi =F \Longleftrightarrow \frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial F_2}{\partial x}\) para todo \((x,y) \in \mathbb{R}^2\)
b) Hallar \(\varphi\)para \(F=(\frac{2x}{x^2+3y^2+1}, \frac{6y}{x^2+3y^2+1} )\). Verificar que \(\frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial F_2}{\partial x}\)
3)a) Enunciar el teorema de existencia y unicidad para sistemas de la forma \(y'=f(t,y)\)
b)
\(y'=|y(t)|^{\alpha}\) \(y(0)=0\)
$$\alpha>0$$
Hallar los \(\alpha\)tal que\(y(t)=0\) es la unica solucion, en los demas casos, hallar una solucion del sistema.
Sea la ecuacion diferencia \(y''+a_1(t) y' + a_0(t) y=0\) con\(a_1(t), a_0(t)\)continuas. Probar que las soluciones es un espacion vectorial de dimension 2. Explicar como encontrar las soluciones.
b) Resolver \(y''-5y'+6=0\)
Bueno gente, aca les dejo el final. Si hay algo extraño en los enunciado avisen porque no lo copio desde la fotocopia original sino que es algo que copie luego de haber rendido.
Si alguien resuelve el 3b estaría buenisimo ya que no me salió el dia del final
Una pista:
Creo que hay que hacer que no valga la condición de Lipschitz, pero realmente no puedo hacer que no valga la condición si tomo como hipotesis que la función esta acotada, creo que nunca entedi bien la condición de Lipschitz
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
yo también pensé eso, pero tampoco se me ocurrió todavía cómo hacerlo.. también creo que es un poco cruel tomar algo así en el final, porque acotar siempre es difícil y no hubo nada de práctica de eso en al cursada. en fin. yo también quiero saber cómo se hace.
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Una idea de lo que se me ocurrio, sin mucho detalle:
Supongamos que hay una solucion no nula. Entonces en un entorno chiquito de t la funcion no se anula y en particular no cambia de signo, luego puedo pasar dividiendo el lado derecho de la igualdad, suponer que es positiva y obtener: (el caso negativa es similar)
$$\frac{y'}{y^a}=1$$
Integrando esta ecuacion entre 0 y t llego a (si \(a\neq 1\)):
$$\frac{-1}{(a-1)y^{a-1}}=t$$
Despejando:
$$y=((1-a)t)^{\frac{1}{1-a}}$$
Habria que hacer tambien el caso a=1.
Despues evaluar en que domino te piden la solucion, porque por ejemplo las que encontre yo, dependiendo de a pueden ser no derivables en 0, e incluso no continuas.
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aah, creo que ya entendí un poco más lo que hiciste. pero mínimamente cuando \($\alpha\in[2,1]$\), que la derivada de \(${y}^{\alpha}$\) está acotada, la función es lipschitz así que tiene que tener una sola solución... no?
lo que no sé es cómo ver si es lipschitz en algún lugar más...
La funcion \(y^a\) es lipchitz solo cuando \(a\geq 1\) lo poedes ver usando que la derivada no está acotada, entonces cuando haces f(x)-f(y)=f'(z)(x-y) si haces x,y tender a 0 f'(z) se va a infinito, entonces no puede haber una constante de Lipchitz
\(\textrm{Tomo $x$ un punto cualquiera de $B$, y ${x}_{0}$ un punto cualquiera de $\partial B$. Entonces, por el TVM, existe $x'$ en la recta que los une (y, por lo tanto, en $B$) tal que:}\)
\(\textrm{Entonces $f$ es constante en todo $B$, y como es contínua en todo $\bar B$, entonces tiene que pasar $f=0$.}\)
Bueno, no sé, está bien? la verdad es que usar algo tan de análisis 1 me parece un poco raro, el b) también lo hice con eso (de hecho el b) me lo tomaron en el final de Mate 1), seguro que hay alguna manera de que salga con algun tema de esta materia, tomando una curva o algo, pero estuve viendo y no me salió.
Dudo que valga ese teorema de valor medio que citas, el de analisis 1 solo vale para 1 variable, para varias variables se da una cota nada mas.
Seguramente tenes que usar el 1)a) con f=g=supuesta solucion
te juuuuuuuro que me lo tomaron ene l final de análisis 1, así igualito al 1- b), con una bola en el espacio, que lo resolví así y que me lo pusieron bien :p
Sabia que tenia que aclarar eso cuando subi el final, me paso lo mismo cuando lo rendi. La pregunta no apunta a dar una formula explicita de las soluciones, sino a explicar mas detalladamente el hecho de que sea un espacio vectorial, y que con encontrar dos soluciones linealmente independientes alcanza, o algo asi...tanto no me acuerdo.
Suerte para aquellos que rinden mñna!!! y tmb suerte para mi que rindo lineal jeje Jeronimooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo!!!!