a)Sea \(F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, F\in C^1(\mathbb{R}^3)\) y \(div(F)=0\), entonces existe \(G\in C^1(\mathbb{R}^3)\) tal que \(rot(G)=F.\)
sug:el campo\(G=(G_1,G_2,G_3)\) puede tomarse con \(G_3=0\)
b)considere el campo \(F(X)=\frac{X}{||X||^3}\), \(F:\mathbb{R}^3 /{0}\rightarrow \mathbb{R}^3, F\in C^1(\mathbb{R}^3)/{0}\). Muestre que \(div(F)=0\), pero que no existe \(G\in C^1(\mathbb{R}^3)/{0}\) tal que \(F=rot(G)\)
la parte a) la dieron en clase, si alguien quiere la respuesta despues la pongo.
mi duda esta con la parte b) si alquien puede ayudarme se lo agradeceria.
Fijate que la integral de ese campo en la esfera (la cascara) es distinta de 0, la calculas a mano. Pero si F fuera el rotor de alguien podes usar stokes que te dice que la integral del rotor en la superficie es la integral de la funcion en el borde, pero como la esfera no tiene borde eso implica que la integral tiene que dar 0
Fijate que de existir \(G\) tal que \(F\eq=rot(G)\), debería verificarse:
$$\int_{V}div(F)\eq=0\int_{\partial V} F\eq$$
O sea... apliqué teorema de Gauss, donde \(\partial V\) es el borde de una región del espacio \(V\).
Luego, probá calcular \(\int_{V}F\), donde \(V\) es una esfera. Fijate que el vector normal unitario exterior es \(\frac{X}{||X||}\)(puesto que \(||X||\) es el radio de la esfera). Luego, para que te convenzas, en la cuenta te quedaría algo como:
Esa cuenta que escribí es bastante bosquejo, pero fijate que nunca da 0. Hacé bien la cuenta, con la parametrización y todo, y fijate qué te queda. Saludos.
Edit: nooooooooooooooo! por qué tenés la costumbre de postear la misma idea antes que yo, Quimey!?. En fin... pierdo siempre.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
La demostración que yo conozco de stokes no usa que este definida en el interior. Pero es trampa porque la vi en geometria diferencial. Lo que es seguro es que gauss no vale porque necesitas integrar en un lugar donde F no esta definida.
Muchas gracias a todos!
lo primero que pense fue usar stokes e integrar sobre la esfera unitaria pero resulta que no se integrar, para mi \(\int_{0}^{\pi} sen(x)dx=0\) pequeño error 😆
gracias nuevamente
Fijate que si puede no valer el teorema de Stokes; si tomás el campo \(\frac{1}{{z}^{2}+{({x}^{2}+{y}^{2}-1)}^{2}}(-2xz,-2yz,{x}^{2}+{y}^{2}-1)\), el rotor te da 0, pero sin embargo, no podés aplicar Stokes, por ejemplo, sobre la curva:
La integral sobre esa curva no da 0, como debería decir el teorema de Stokes. O sea, tampoco lo podés aplicar si tenés puntos donde no te queda definido el campo.
Y en Gauss, si la integral existe, sigue valiendo el resultado.
Pero hay puntos de la curva donde la funcion no esta definida,
Hace un dibujo.
Para los que tengan Mathematica:
ParametricPlot3D[{{Sqrt[1 + Cos[t]], 0, Sin[t]}, {Cos[t] Cos[s], Cos[t] Sin[s], Sin[t]}}, {t, 0, 2 [Pi]}, {s, 0, 2 [Pi]}]
OK... me parece que vengo mal últimamente; no se negar, no se calcular un complemento ortogonal, y ahora, esto; lo triste es que ese ''contraejemplo'' que di lo tomaron en uno de los parciales, y yo lo justifiqué justamente bajo el argumento que decís. En fin; Stokes...
PD: no solo no está definido el campo en el interior de la esfera, sino que la integral que queda no la podés ni salvar poniéndola como integral imporpia. En definitiva; un desastre lo mío.
una pregunta no se como probar la primera implicacion, osea el punto a, facil es probar q si F es un campo rotor su divergencia da cero, pero como hago para probar q si la divergencia da cero F es un campo rotor???
Primero, quería aclarar que en la demostración del Teorema de Stokes, usás Green, pero para \(\Omega\) donde definís \(S\), la superficie... lo que quiero decir es que Stokes como lo vimos, podemos aplicarlo sin problemas[o sea, no uso que esté bien definida en el interior de la superficie]. Otro desfasaje de ayer...
Con respecto a lo que preguntás, la demostración es construir el campo rotor. La idea es que si es \(G\eq=({G}_{1},{G}_{2},{G}_{3})\), se tiene que cumplir:
$$rot(G)\eq=F\eq=({F}_{1},{F}_{2},{F}_{3})$$
O sea, te quedan planteadas ecuaciones diferenciales para cada \({F}_{i}\). Seguí la sugerencia de considerar alguno de los \({G}_{j}\) igual a 0, y a partir de ahi, contruíte el campo rotor. Si no sale todavía, avisá(también está explicado, por ejemplo, en el apunte de Noemi la demostración, creo)
Saludos.
si eso ya lo intente pero no puedo llegar por ejemplo si F =(f1, f2, f3) y G = (g1, g2, 0)llego a q f1 = - g2z, f2 = g1z, f3 = g2x - g1y (la letra indica respecto a quien esta dervada) ahora integro en z la f1 y la f2 y me queda un desastre con las funciones g1(xyk) y g2 (xyk) respectivamente metidas y donde k es el punto que tome como base para integrar y que no se como determinarlas. Con f3 no se q hacer por q tengo 2 derivadas respecto a variables distintas y finalmente no se que hacer con la hipotesis de q div (F) = 0 ya que trate de sacar conclusiones con respecto a g2x y g1y pero no llegue a mucho
una cosita mas ninguno de los apuntes de noemi el primero es curbas y superficies y el segundo es ecuaciones diferenciales, por lo q justo este tema se lo saltea 😢
cuando verificas que ese es el campo tal que rot(G)=F, las dos primeras coordenadas del rotor salen facil, para la tercera tenes que usar que se puede permutar la integracion respecto de alguna variable con la integracion(o como se diga). es decir
Es que no es único el campo rotor; de hecho, si tenés \(G\) que verifica \(rot(G)\eq=F\), en particular \(\nabla \phi\), continuamente diferenciable, resulta:
\(rot(G+\nabla \phi)\eq=F\). O sea... no es único.
\(\int_{0}^{z}\frac{\partial {F}_{3}}{\partial Z}(x,y,t)\,dt\eq={F}_{3}(x,y,z)-{F}_{3}(x,y,0)\). Usa el teorema fundamental del Cálculo(particularmente la regla de Barrow)
cuando verificas que ese es el campo tal que rot(G)=F, las dos primeras coordenadas del rotor salen facil, para la tercera tenes que usar que se puede permutar la integracion respecto de alguna variable con la integracion(o como se diga). es decir
en el anteultimo paso usas que la divergencia es cero.
suerte mañana para los que rindan.
hay algo que no me convence/ que no entiendo
si en la última coordenada del rotor decís que podes meter la derivada adentro de la integral felilzmente, eso debería querer decir que da lo mismo que no meterla. Pero cuando la resolvés, usando Barrow, te queda \({F}_{3}(x,y,z)-{F}_{3}(x,y,0)\). En cambio en las dos primeras componentes no queda restando la función evaluada en z=0, si quedara restando no daría que rotG=F.
Por qué, si supuestamente es lo mismo, da algo distinto? O el punto es que se peuden permutar las derivadas sólo porque no son con respecto a z? supongo que la cuestión es esa, pero no enteindo muy bien por qué sería así, si alguien me peude explicar le agradecería eternamente 🙂
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Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
Hago la cuenta, para que quede claro.
\({F}_{1}\eq={{G}_{3}}_{y}-{{G}_{2}}_{z}\eq=\frac{\partial}{\partial z}\int_{0}^{z}{F}_{1}(x,y,t)\,dt\).
Definí \({f}_{1}\eq=\int_{0}^{z}{F}_{1}(x,y,t)\,dt\). Si pensás a \({F}_{1}(x,y,t)\eq=h(t)\), porque tenés \(x,y\) fijas, tenés \({f'}_{1}(t)\eq=(\int_{0}^{z}h(t)\,dt)'\eq=h(z)\)(esto último es el teorema fundamental del cálculo). Pero \(h(z)\eq={F}_{1}(x,y,z)\)
Lo mismo pasa con \({F}_{2}\)
Justamente, puede permutarse, por una hipótesis aparentemente inocente que no se mencionó. Se dice \(\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{3})\)... ¿por qué? Lo demuestro(va, tiro la idea) para que se entienda.
Si tenés \(\phi(x,y,z)\eq=\int_{a}^{b}\phi(x,y,z,t)\,dt\), querés probar(por ejemplo) que \({\phi}_{x}(x,y,z)\eq=\int_{a}^{b}{\phi}_{x}(x,y,z,t)\,dt\).
Para ello, estudiá \(\phi(X+h{e}_{1})-\phi(X),\,X\eq=(x,y,z),\,0<|h|\)
\(\phi(X+h{e}_{1})-\phi(X)\eq=h{\phi}_{x}(X')\)(T.V.Medio con \(X'\) en el segmento correspondiente)
Como \(\phi(X+h{e}_{1})-\phi(X)\eq=\int_{a}^{b}[\phi(X+h{e}_{1},t)-\phi(X,t)]\,dt\), queda:
\(\phi(X+h{e}_{1})-\phi(X)}\eq=\int_{a}^{b}[\phi(X+h{e}_{1},t)-\phi(X,t)]\,dt}\eq=\int_{a}^{b}h{\phi}_{x}(X',t)\,dt\eq=h\int_{a}^{b}{\phi}_{x}(X',t)\,dt\).
Luego...
Ahora, queremos ver que \(\frac{\phi(X+h{e}_{1})-\phi(X)}{h}\) tiende a \(\int_{a}^{b}{\phi}_{x}(X,t)\,dt\)(lo de permutar) cuando \(h\rightarrow 0\). Luego:
Como \(\phi(x,y,z)\) es \(\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{3})\), las derivadas parciales resultan continuas. Luego, la función \(|{\phi}_{x}(X',t)-{\phi}_{x}(X,t)|\) es continua, sobre \([a,b]\). \(X'\) observemos que, si bien depende de \(X\), depende de \(|h|\).
En definitiva, lo que quedó al final se puede hacer tan chico como se quiero para \(0<|h|<\delta\). Creo que se ve por qué(hay que exigir \(||X-X'||\) suficientemente chico, lo que va a involucrar a \(|h|\)).
Esto mismo es válido para las otras derivadas parciales
Por eso vale permutar. Espero que se entienda la idea
Hago la cuenta, para que quede claro.
\({F}_{1}\eq={{G}_{3}}_{y}-{{G}_{2}}_{z}\eq=\frac{\partial}{\partial z}\int_{0}^{z}{F}_{1}(x,y,t)\,dt\).
Definí \({f}_{1}\eq=\int_{0}^{z}{F}_{1}(x,y,t)\,dt\). Si pensás a \({F}_{1}(x,y,t)\eq=h(t)\), porque tenés \(x,y\) fijas, tenés \({f'}_{1}(t)\eq=(\int_{0}^{z}h(t)\,dt)'\eq=h(z)\)(esto último es el teorema fundamental del cálculo).[/tex]
por qué no sería h(z)-h(0)? eso es lo que sigo sin entender.. por qué para la tercer componente del rotor sí se hace (sí se "usa barrow", digamos), y aca ponemos solo h(z)? capaz es una pregutna muy tonta pero no me doy cuenta
\(\int_{0}^{z}\frac{\partial {F}_{3}}{\partial Z}(x,y,t)\,dt\eq={F}_{3}(x,y,z)-{F}_{3}(x,y,0)\). Usa el teorema fundamental del Cálculo(particularmente la regla de Barrow)
esto es lo que digo.. que eso no es lo ismo que \(\frac{\partial}{\partial Z} \int_{0}^{z}{F}_{3}(x,y,t)\,dt={F}_{3}(x,y,z)\)..o sea que permutando no te da lo mismo (y para las otras dos componentes de F hicimos esto que acabo de poner)
Es el teorema fundamental del cálculo. Bel, cuánto da derivar
\(\int_{a}^{t}f(x)\,dx\)? Por el T.F.Cálculo, \(f(x)\). Descuento que esto lo entendés. Al otro...
\(\int_{a}^{t}f'(x)\,dx\eq=f(t)-f(a)\) Voy a probar este...
Si tomamos la función \(h(t)\eq=f(t)-\int_{a}^{t}f'(x)\,dx\), veamos que es constante. Derivando(se puede hacer por ser \(f\) continuamente derivable)
\(h'(t)\eq=f'(t)-f'(t)\eq=0\)(T.F.Cálculo el segundo miembro)
Luego es constante, por ser la derivada nula. Luego....
\(h(t)\eq=f(t)-\int_{a}^{t}f'(x)\,dx\), reemplazo en a...
no.. jajaja... uf, no me odies.
Lo que yo quiero decir es que para la primera y la última componente del rotor estás haciedno lo mismo (porque permutar vale), y en el primer caso te queda solo F1(x,y,z) y en el otro caso te queda F3(x,y,z)-F3(x,y,0). (quiero decir, finalmente te queda F3(x,y,z) pero porque tenias un F3(x,y,0) sumando). Eso es lo que no entiendo.. por que, si estas haciendo lo mismo, en la primer componente del rotor no tenes restado F1(x,y,0). O sea... yo enitendo por qué no lo tenés.. quiero decir, al derivar después de integrar, la derivada del termino constante es 0. Pero si es cierto que permutar vale, deberías obtener el mismo resutlado que en la tercera componente, donde primero derivás, y ahí si te queda el termino constante restado.
Ni siquiera sé si se entiende qué es lo que no entiendo 🙁 perdón de nuevo y gracias por la paciencia je 🙂
creo que ya entendí, creo... Bel, el rotor no es único. De hecho, si \(G\) sirve, entonces \(G+\nabla \phi\) sirve, con \(\phi\) continuamente derivable. O sea, si entendí finalmente la duda... el rotor no es único. Esa era la duda? Es decir, podés tener de otra forma \(G\), por lo de permutar. Eso te referías?
Pero en la resolución de Juanma vos calculás el lado derecho de la igualdad para \({F}_{1}\) (pero es lo mismo) y te da \({F}_{1}(x,y,z)\).
Y después calculás el lado izquierdo, ahí sí para la \({F}_{3}\), y te da \({F}_{3}(x,y,z)-{F}_{3}(x,y,0)\), porque usas Barrow. Eso quiero decir. Que al permutar no te da lo mismo, te queda ese término restado que antes no aparecía, y no entiendo por qué (si apareciera cuadno calculás la primer componente del rotor, no se cumpliría que rotG=F.. y tampoco si no apareciera cuando calculás la tercera componente)
Ahhhhhh... entendí tu duda. Ahi no vale permutar, porque tenés que considerarla como una función en una variable z. No vale permutar porque la variable de integración es la z. O sea, si esto resume, no vale permutar la derivada parcial respecto de la variable de integración. O sea...(consideron continuamente derivable como antes)
siii. ya entiendo todo, de hecho ahroa ya entiendo por qué no vale, gracias por tus justificaciones y por tomarte el tiempo 🙂 ahora sí me creo todo esto y soy feliz, jaja
pero como la esfera no tiene borde eso implica que la integral tiene que dar 0
pregunta: para demostrar esto que decís, no se usa Gauss?
digo.. que si divF=0 entonces la integral sobre toda superficie cerrada es 0
pero acá no podrías usar Gauss porque no cumplís las hipótesis... igual sigue valiendo?