para los curiosos... este es un final de ingeniería mecánica, de análisis II. Ellos ven los etmas que vemos nosotros en análisis 1 durante la cursada, y en el final les toman los tems que vimos en análisis II.
$$1.\textrm{Sea $C\subset{\mathbb{R}}^{3}$ la curva parametrizada por $\alpha(t)=(t,{t}^{2},2{t}^{2})$ con $t\in[-5,5]$.}$$
$$a.\textrm{Demostrar que la curva esta contenida en un plano.}$$
$$b.\textrm{Calcular la circulacion del campo vectorial $F(x,y,z)=(-y,x,{e}^{{z}^{2}})$ a lo largo de C.}$$
$$2.\textrm{Hallar $h>0$ de manera que el flujo del campo $F(x,y,z)=(2x,2-3y+z,4z-x)$a traves de la frontera del cuerpo definido por:}$$
$$\textrm{$1-h\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$\leq$z$$\leq1+2{h}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}$ sea $4\pi$, considerando la normal exterior.}$$
$$3.\textrm{Sea $D\subset{\mathbb{R}}^{2}$ una region cerrada y acotada cuya frontera es la curva regular C. Dado el campo $F(x,y)=(xy+x,Q(x))$}$$
$$\textrm{con $Q(x)\in\mathbb{R}$ de clase ${C}^{1}$, hallar Q(x) de modo que:}$$
$$\bullet\textrm{la circulacion de F a lo largo de C, recorrida en sentido positivo, sea igual al triple del area de D.}$$
$$\bullet\textrm{$F(1,3)=(4,0)$}$$
$$4.\textrm{Hallar la distancia del origen a la curva C definida por las ecuaciones ${x}^{2}+{y}^{2}=1$; $2x-z=1$.}$$
$$5.\textrm{Calcular la masa de la porcion de superficie conica $4{z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ con $0\leq$ z $\leq1$; x$\leq$y, sabiendo que la densidad en cada punt es proporcional}$$
$$\textrm{a su distancia al plano $xy$.}$$
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("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")