He aqui el ejercicio en cuestión:
Sea \(F=(P,Q)\) un campo conservativo en \({\Mathbb{R}}^{2}\). Comprobar que las trayectorias (soluciones) de
$$x'=-Q(x,y)$$
$$y'=P(x,y)$$
están contenidas en las curvas de nivel del potencial de F
Hice una parte, no lo termine:
\(x'=\frac{dx}{dt}=-Q(x,y)\)
$$\Rightarrow\frac{dx}{-Q}=dt$$
(aca no sabia bien con respecto a que estaba derivada x)
Haciendo lo mismo con P e igualando queda \(Pdx+Qdy=0\)
Como F es un campo conservativo, existe \(R/\bigtriangledown{R}=(P,Q)\), por lo tanto la ecuacion a la que llegamos es exacta y su solución es \(R(x,y)=k\) (k una constante)
Acá es donde me trabo, no se como sacar las soluciones del sistema a partir de esa R
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
sea \((P,Q)=\bigtriangledown{H}\). sea \((x(t),y(t))\)una solucion del sistema. veamos que \(H(x(t),y(t)) =k\). para eso veamos que la derivada es nula. \(H(x(t),y(t))' = \bigtriangledown{H} .(x'(t),y'(t)) = (P,Q).(-Q,P)=-PQ+QP=0\) todo evaluado sobre la curva \((x(t),y(t)).\)con esto demostramos que las soluciones estan contenidas en las curvas de nivel de la funcion potencial.
el ejercicio sigue asi
b) hallar las soluciones de
$$x'= -(x^2+1) e^{(x^2y+y)}$$
$$y'=2xye^{(x^2y+y)}$$
como hago esto? ya sabemos que las soluciones estan contenidas en las curvas de nivel de la funcion potencial \(f(x,y)=e^{(x^2y+y)}\) pero eso no nos dice que las soluciones sean las curvas de nivel sino que pertenecen.
Una cosa; la parte a) tenía que ver con un teorema que permite la resolución de ecuaciones diferenciales exactas, usando el teorema de la función implícita. Para el 2), es lo mismo... ecuaciones diferenciales exactas. O sea...
Esta es una ecuación diferencial exacta(por ser un campo conservativo \(F\)). Resolvela y de ahi sacás las soluciones.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
uh muchas gracias
pero unas dudas:
a)Hay que usar Teorema de la ímplicita, no basta con lo que dijo Juanma?
b)cuando resolves la exactas te queda una funcion escalar de dos variables, como saco de ahi la solución del sistema?
Las ecuaciones diferenciales exactas nunca me quedaron muy claras